И.К. Белова
2
Стержень предполагаем настолько тонким, что в любой момент
времени температура всех точек его поперечного сечения будет од-
ной и той же. Если принять ось стержня за ось абсцисс, то его тем-
пература
( , )
T T x t
будет функцией координаты
x
и времени
t
.
Процесс разогрева в этом случае описывается дифференциальным
уравнением в частных производных второго порядка, вывод которого
основывается на следующих закономерностях теплопроводности
твердых тел [3], теории теплопроводности и известном математиче-
ском аппарате [2, 3]:
количество теплоты, которое необходимо сообщить одному телу
(катоду), чтобы повысить его температуру на
,
T
,
Q C V T
где
С
,
,
V
— теплоемкость, плотность материала и объем катода со-
ответственно;
количество теплоты, протекающее через поперечное сечение
стержня за время ,
t
пропорционально площади сечения ,
S
скоро-
сти изменения температуры
T x
в направлении, перпендикулярном
сечению, и промежутку времени
:
t
,
S
T
Q
t
x
где
S
— теплопроводность материала держателя (знак «–» свиде-
тельствует о том, что направление теплового потока противоположно
направлению градиента температур).
Выделим участок стержня, ограниченный поперечными сечения-
ми с абсциссами
x
и
,
x x
и составим для него уравнение теплово-
го баланса. Количество теплоты, входящее через поперечное сечение
с абсциссой ,
x
в точке
x x
составит [2]
2
2
.
T
T T
T
x
x x
x x
Поэтому тепловой поток, входящий через сечение с абсциссой
,
x x
2
2
.
S
T T x t
x x
Разность входящего и выходящего тепловых потоков составит
количество теплоты, сообщенное выбранному участку стержня за
время
:
t
