И.К. Белова
4
ратуры на ограничивающих поверхностях, либо тепловой поток че-
рез ограничивающую поверхность, либо температуру тела связывают
с температурой окружающей среды через коэффициенты теплоотда-
чи [2].
Для катодов прямого накала границы заданы его длиной
.
l
Это
могут быть точки с координатами
2 ,
l
если центр координатной
системы находится в центре катода, либо точки с координатами
0
x
и
,
x l
если начало координат совмещено с одним из концов
катода. Самый простой случай граничных условий — постоянная
температура концов катода:
0
(0, ) ( , )
.
T t T l t T
(3)
В связи с условностью начала отсчета температуры и учетом гра-
ничных условий за начало отсчета температуры можно принять тем-
пературу
0
.
T
Преобразуем уравнение (1), начальное условие (2) и граничное
условие (3) применительно к идеальному катоду, который отличается
от реального лишь отсутствием тепловых потерь на его концах [2].
Это означает отсутствие градиента температур по длине катода, а
следовательно, и теплового потока в тело катода
(
0
Q
означает,
что
2
2
0).
T x
Приближение к идеальному катоду заключается в
пренебрежении членом
2
2
T
C x
в уравнении (1) и граничным усло-
вием (3). Для общности будем считать, что в начальный момент вре-
мени катод находится под дежурным нагревом с температурой
д
.
T
В этих условиях уравнение теплопроводности и начальное условие
примут вид
4 4
н
0
;
T
P
T T
t
SC
SC l
(4)
д
(0)
.
T T
Если пренебречь производной второго порядка по координате, то
нелинейное дефференциальное уравнение (1) в частных производных
принимает вид обыкновенного дифференциального уравнения в пол-
ных производных (после проведенных упрощений температура зави-
сит только от времени).
Нелинейность уравнения (1) определяется наличием члена, со-
держащего
4
.
Т
Известно лишь несколько точных решений, рассмат-
ривающих процесс излучения по закону Стефана — Больцмана [2].
Математические сложности решения нелинейных уравнений приво-
