Моделирование тепловых процессов идеального термокатода…
3
2
2
1
2
2
.
S
S
S
T
T T
T
Q
t
x t
x t
x
x x
x
Если выбранный участок стержня находится в лучистом тепло-
обмене со средой, имеющей температуру
0
,
T
то, согласно закону
Стефана — Больцмана, количество теплоты, теряемой участком,
4 4
2
0
,
Q
T T x t
где
— степень черноты;
— периметр поперечного сечения
стержня;
— удельное электрическое сопротивление; знак «–» взят
потому, что теплота излучается телом (теряется).
От источника накала к стержню подводится количество теплоты,
которое можно задать несколькими способами.
Если
н
I
— ток накала, то подводимое к участку стержня за вре-
мя
t
количество теплоты [2, 3]
2
н
3
.
I Q
x t
S
Уравнение теплового баланса на выбранном участке имеет вид
1
2
3
.
Q Q Q Q
Задав объем участка стержня как
,
V S x
можно записать
2
4 4
н
0
2
,
S
T
T
P
SC
T T
t
l
x
где
н
P
— подводимая мощность накала;
l
— длина стержня.
Обычно уравнение теплопроводности применяют в более удоб-
ном для анализа виде:
2
4 4
н
0
2
.
T
T
P
T T
t
C
l
х
(1)
Уравнения теплопроводности имеют единственное решение при
наличии начального и граничных условий [2, 3]. Для катодов прямо-
го накала начальное условие формулируется сравнительно просто и
заключается в том, что начальная температура катода равна темпера-
туре окружающей среды:
0
( , 0)
.
Т x T
(2)
Граничные условия сводятся к заданию условий теплообмена на
ограничивающих поверхностях. Задают либо распределение темпе-
