Формула Харди — Рамануджана и термодинамика квантовой струны
1
УДК 519.116, 530.145
Формула Харди — Рамануджана
и термодинамика квантовой струны
© А.О. Шишанин
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
Проведено сравнение асимптотической формулы Харди — Рамануджана для раз-
биений натуральных чисел с числом микросостояний путем вычисления энтропии
квантовой струны через формулу Эйлера — Маклорена. Кратко рассмотрен дру-
гой подход, использующий подсчет числа состояний через обратное преобразова-
ние Лапласа статистической суммы.
Ключевые слова:
разбиение числа, производящая функция, формула Харди — Ра-
мануджана, квантовая струна, статистической сумма, свободная энергия, эн-
тропия, формула Эйлера — Маклорена.
Введение.
Разбиением натурального числа
n
называется его
представление в виде суммы других натуральных чисел, при этом
порядок чисел не учитывается. Число таких представлений называет-
ся числом разбиений
p
(
n
) натурального числа
n.
Это один из фунда-
ментальных объектов теории чисел и комбинаторики [1].
В 1740 г. Л. Эйлером было обнаружено, что числа разбиений
имеют следующую производящую функцию
1
1
1
( )
.
1
n
k
n
k
p n x
x
Им было также показано, что число разбиений натурального числа
n
на нечетные числа совпадает с числом разбиений на различные чис-
ла. Кроме того, он получил знаменитую рекуррентную формулу для
чисел разбиений. Знаменатель производящей функции раскладывает-
ся в следующий ряд:
2
3
2 5 7 12 15 22 26
(1 )(1 )(1 )... 1
...
x x
x
x x x x x x x x
Тогда рекуррентная формула имеет вид
( ) ( 1) ( 2) ( 5) ( 7) ( 12) ...
p m p m p m p m p m p m
Числа, которые стоят здесь в скобках, называются пентагональными
или пятиугольными и задаются формулой
(3 1) .
2
m
m m g
