Формула Харди — Рамануджана и термодинамика квантовой струны
3
Здесь
n
E
— энергия
n
-го уровня;
k
— постоянная Больцмана;
T
—
температура струны, а сумма факторизуется для каждой гармоники,
что позволяет представить статсумму в виде
24
1
1
.
1 exp
/
kT
n
Z e
n kT
Свободная энергия при этом определяется выражением
1
ln
ln 1 exp
/
.
24
n
F kT Z kT
n kT
Эту сумму при больших температурах можно аппроксимировать ин-
тегралом, если ввести переменную интегрирования
/( ).
x n kT
Вычисляя интеграл, получаем выражения для свободной энергии
2 2 2
6
24
k T
F
и для энтропии
2 2
.
3
F k T
S
T
Удобнее выразить температуру через внутреннюю энергию
E F TS
. Определим номер уровня
N
как
/
.
E
Воспользуемся
формулой Больцмана для статистической энтропии
ln ,
S k
где
— число микросостояний системы. Будем считать число
N
боль-
шим, а
( ).
p N
Можно показать, что это точное равенство. Исклю-
чая температуру, получаем
1/ 24
ln ( ) 2
6
N
p N
.
Эта формула не воспроизводит знаменатель формулы Харди —
Рамануджана.
Чтобы сделать более точный расчет свободной энергии, восполь-
зуемся формулой Эйлера — Маклорена для подсчета сумм:
2 1
2 1
2
1
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ,
2
b
b
n
n
n
n a
n
a
f a f b
f x f x dx
B f
a f
b
где
а
,
b
— целые числа и суммирование проводится по всем целым,
находящимся между ними;
2
n
B
— числа Бернулли.
