А.О. Шишанин
4
Тогда учет следующего за интегралом слагаемого приводит к вы-
ражению
4
exp 2 6
( )
.
N
p N
N
Видно, что это вычисление не воспроизводит правильную
асимптотику числа разбиений, а значит, чисто термодинамическим
способом не удается воспроизвести правильный ответ. Получить
правильную асимптотику можно, если сразу от статсуммы перейти к
подсчету числа состояний. Это возможно благодаря обратному пре-
образованию Лапласа [4]. Правильный ответ (формула Харди —
Рамануджана) для асимптотического числа состояний получается,
если воспользоваться методом перевала.
Заключение.
Как
хорошо известно [3, 5–8], в теории бозонной
струны существует некоторая предельная температура — температу-
ра Хагедорна, выше которой наступает фазовый переход. Другими
словами, при температуре выше температуры Хагедорна статсумма
квантовой струны начинает расходиться. Это связано с появлением
вихрей [6–8], учет которых требует отдельного рассмотрения. Более
того, термодинамическое описание систем, взаимодействующих с
гравитацией (теория струн к ним относится), имеет место только при
температурах, много меньших планковских. В ином случае понятия
температуры, термодинамического ансамбля и фазового перехода
теряют смысл.
В данной работе мы обсудили, как можно оценить асимптотику
числа разбиений, используя вычисление энтропии для одномерной
квантовой струны. Более точный метод предполагает переход от
статсуммы сразу к вычислению числа микросостояний. Эти подходы,
вероятно, можно обобщить на случай большего числа измерений и
других струнных теорий.
ЛИТЕРАТУРА
[1]
Эндрюс Г.
Теория разбиений
. Москва, Наука, 1982, 256 с.
[2]
Hardy G.H., Ramanujan S. Asymptotic Formulae in Combinatory Analysis.
Proc. London Math. Soc.,
1918, vol. 17, pp. 75–115.
[3]
Цвибах Б.
Начальный курс теории струн
. Москва, Едиториал УРСС, 2011,
784 с.
[4]
Кубо М.
Статистическая механика
. Москва, Мир, 1967, 452 с.
[5]
Грин М., Шварц Дж., Виттен Э.
Теория суперструн
. Москва, Мир, 1990,
т. 1, 518 с.
[6]
Atick J.J., Witten E. The Hagedorn Transition and the Numbers of the Degrees
of Freedom of String Theory.
Nucl. Phys.
, 1988, vol. B310, pp. 291–334.
[7]
Kogan Ya.I. Vortices on the World Sheet and String’s Critical Dynamics.
JETP
Lett
., 1987, vol.45, pp. 709–712.
