А.О. Шишанин
2
Л. Эйлер сначала предположил, а затем доказал пентагональную
теорему, которую можно записать следующей формулой:
(3 1)/2
1
(1 )
( 1)
m
q q q
q
m
x
x
.
Разбиения чисел удобно описывать с помощью диаграмм Юнга
или графов Феррера. Для больших натуральных чисел
n
Г.Х. Харди и
Ш. Рамануджан в 1918 г. [2] получили асимптотическую формулу
для числа разбиений. Эта формула независимо была получена также
русским математиком Я.В. Успенским в 1920 г и улучшена Х. Раде-
махером в 1937 г. Формула Харди — Рамануджана при больших
N
имеет вид
1/24
2
6
1
( ) ~
4 3
N
p N
e
N
.
Конечно, при больших
N
можно пренебречь под корнем значени-
ем 1/24, но здесь формула дана в первоначальном виде. Эту формулу
можно получить, например, если перейти к интегральному представ-
лению для
p
(
n
), а затем воспользоваться стандартным асимптотиче-
ским методом (например, методом стационарной фазы). Ниже мы
попробуем получить асимптотическую оценку числа разбиений, вы-
числяя энтропию квантовой струны [3].
Разбиения и квантовая струна.
Представим состояние
обыч-
ной струны как суперпозицию состояний с разными гармониками,
частоты которых кратны основной частоте
. Квантовую струну
можно рассмотреть как набор гармонических осцилляторов с часто-
тами
,
2
,
3
, … Каждый
n
-й осциллятор обладает своими опера-
торами рождения
n
a
и уничтожения
n
a
, удовлетворяющими обыч-
ным коммутационным соотношениям
[ ,
]
.
n n
nk
a a
Тогда гамильтониан струны будет иметь вид
1
( 1/ 2)
,
n n
k
H
n
a a
где
— постоянная Планка.
В работе [3] приведено вычисление свободной энергии и энтро-
пии без учета энергии нулевых колебаний. Ниже мы учтем этот вклад
сразу. Тогда статистическая сумма (статсумма) запишется так:
1 2
/
1
2
3
, ,...
exp
(
2 3 ...)
(1 2 3 ...) .
2
n
E kT
n
n n
Z e
n n n
kT
kT
