Г.А. Нефедов
4
Доказательство.
Выпишем лагранжиан задачи:
0
0 т
1
1
2
1
1
1
( , , , )
( , , )
( )(
( , , ))
(
)
( )
(
)
(
) .
2
i
i
i
n
i
i
i
i
m
n
k
i
i
i
i
i
i
i
j
j
j
n n
i
j
L t
f t
t
f t
f
v t
z z
z v
λ
z z v
z v
z
z v
z f
Соответствующие уравнения Эйлера с учетом разделения пере-
менных на фазовые переменные и управления имеют вид
0,
1, ,
0,
1, ,
i
i
j
j
v
z
z
v
d L L
i
n
dt
d L L
j
m
dt
или для данного вида лагранжиана
1
1
0,
1, ,
,
1, ,
2, ,
1, .
,
j
j
j
i
j
i
j
j j
n
j
m
j
m i
n
j
m
v
(6)
Очевидно, что
1
0
const
j
j
C
,
1, .
j
m
Тогда, последовательно
интегрируя (1) – (5), получаем
1
1
0
,
1, ,
1, ,
!
j
k
i
j
i
k
j
i
k
C t
j
m i
n
k
1,
,
0.
j
j
n
j
j
j
j
m
v
(7)
Если один из коэффициентов
0
j
, то все соответствующие ему
j
i
,
1,
j
i
n
будут тождественно равны нулю.
Подставив программное управление (7) в систему (3) и последо-
вательно интегрируя снизу вверх уравнения в каждом блоке (3),
найдем
2
2
0
,
1, ,
1, .
!
j
j
j
k
n i
n i k
j
j
i
j
k
C t
z
j
m i
n
k
