Оптимальные траектории систем канонического вида
3
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
, ,
,
,
,
,
,
,
m
m
m
n
n
n
m
m m m
n
n
m
m
n
z
z
z
z
z
v
z
z
z
z
z
v
(3)
а из системы квазиканонического вида выделить линейную подси-
стему и сделать в ней аналогичную замену управления. В дальней-
шем ограничимся рассмотрением аффинных систем, преобразуемых
к регулярному каноническому виду.
Для систем, допускающих преобразование к виду (3), ставится
задача поиска траекторий, на которых достигается минимум энерге-
тического функционала
2
0
0
1
0
( )
min,
( )
( ) ,
2
m
k
k
k
I
f v dt
f v
v t dt
(4)
где все коэффициенты
k
неотрицательны и среди них есть хотя бы
один ненулевой. Предполагается, что конечный момент времени
фиксирован. Граничные условия зададим в следующем виде:
0
,
.
(0)
( )
z
z z
z
(5)
В [7] для продольного движения автомобиля получен общий вид
траекторий, минимизирующих функционал вида (4). Уравнения дви-
жения автомобиля представлены кинематическими соотношениями в
виде линейной системы третьего порядка специального вида со ска-
лярным управлением — рывком автомобиля. Основываясь на подхо-
де, предложенном в [7], можно получить вид траекторий для системы
(3), на которых достигается минимизация функционала (4).
Нахождение оптимальных траекторий.
Программная траекто-
рия системы (3) может быть однозначно задана координатными
функциями
1
( )
i
z t
,
1, ;
i
m
остальные координатные функции нахо-
дятся их последовательным дифференцированием.
Т е о р е м а .
Координатные функции
1
( )
i
z t
,
1, ,
i
m
траектории
(t)
z
, являющейся решением задачи оптимального управления (3) – (5),
являются полиномами порядка
2 1
i
n
,
1,
i
m
.
