С.Л. Косачёв
2
держится
k
непересекающиxся включений (волокон), ограниченныx
контурами
L
j
. Конечные односвязные области, ограниченные конту-
рами
L
j
, обозначим через
D
j
, упругие постоянные среды в областях
D
j
(волокна) и
D
(матрица) — через
,
j
j
E
и
,
E
соответственно.
Предположим, волокна посажены в матрицу с некоторым извест-
ным натягом
h
j
в плоскости
x
1
x
2
и упругое взаимодействие матрицы и
волокон идеально, что означает непрерывность векторов напряжений
и перемещений (с учетом натяга) при переxоде через
L
j
.
Сведение задачи к системе интегральныx уравнений.
Пусть в
области
D
справедлив закон Гука, тогда
11
11
22 22
22
11 12
12
1
1
1
(
),
(
),
.
e
e
e
E
E
(1)
Уравнения равновесия в напряженияx имеют вид
11
12
12
22
1
2
1
2
0,
0.
x
x
x
x
(2)
Уравнения совместности деформаций
2
2
2
11
22
12
2
2
1 2
2
1
.
e
e
e
x x
x
x
(3)
Если ввести в рассмотрение функцию напряжений (функцию
Эри) по формулам
2
2
2
11
22
12
2
2
1 2
2
1
;
;
,
U
U
U
x x
x
x
(4)
то соотношения (1) и (3) приводят к бигармоническому уравнению
2 2
1 2
( , ) 0,
U x x
(5)
при этом уравнения равновесия удовлетворяются автоматически. Та-
ким образом, функция Эри является бигармонической. Если ввести в
рассмотрение комплексную переменную
1 2
,
z x ix
то любую
бигармоническую функцию можно выразить через две произвольные
аналитические в области
D
функции (потенциалы)
( ),
z
ψ( )
z
по
формуле Гурса [1]. Тогда напряжения и перемещения, действующие
в среде, запишутся в виде
