Термодинамическая модель фазового равновесия многокомпонентных сплавов …
7
Можно показать [7], что вследствие симметрии области миними-
зации, выраженной ограничениями (5), (6), а также симметрии самой
целевой функции (1), для нахождения параметров устойчивого рав-
новесия системы достаточно найти локальный минимум целевой
функции, ближайший к точке исходного состава
x
0
[7].
Ввиду большого числа параметров, в том числе эмпирических,
исчерпывающее аналитическое исследование рассматриваемой целе-
вой функции весьма затруднено, поэтому затруднено и аналитиче-
ское решение задачи минимизации. Для решения задачи (8) исполь-
зовали численные методы. Выбор подходящего метода минимизации
в данном случае представляет собой весьма трудоемкую задачу
оптимизации, где в качестве параметра оптимизации можно исполь-
зовать, например, число вычислений значения целевой функции,
необходимое для нахождения ее минимума с заданной точностью.
Распространенным способом оценки эффективности методов мини-
мизации и корректности получаемого результата в случаях, когда
аналитические оценки затруднены, являются вычислительные экс-
перименты и сравнительный анализ алгоритмов, реализующих ме-
тоды минимизации, по результатам таких экспериментов. Подобное
исследование проведено в работе [7]. Выбран модифицированный
метод градиентного спуска с дроблением шага [8]. В процессе
нахождения минимума строится так называемая релаксационная по-
следовательность {
x
k
}, осуществляющая переход от точки
x
k
–1
к
точке
x
k
области допустимых значений параметров минимизации
таким образом, что для целевой функции
F
(
x
) выполняется условие
монотонности:
1
1
,
0, 1, 2, ...
k
k
k
k
F F F
F k
x
x
(9)
при этом движение от точки
x
k
–1
к точке
x
k
осуществляется в направ-
лении, противоположном градиенту целевой функции в точке
x
k
–1
,
т. е. в направлении наибольшего убывания функции при бесконечно
малом движении из этой точки. Выбранный подход для вычисления
k
-го приближения использует не только (
k
– 1)-е, но и (
k
– 2)-е при-
ближение, что позволяет лучше приспосабливаться к сложному
рельефу целевой функции:
1
1
1
2
.
k
k
k
k
k k
k
F
x x
x
x x
Здесь β
k
– переменный шаг минимизации; γ
k
– так называемый коэф-
фициент вязкости (0 < γ
k
< 1), помогающий ускорить сходимость ал-
горитма в случае «овражного» или «котловинного» рельефа [8]. Для
каждого приближения минимизации
k
на основании предыдущих
