Н.А. Беляков, Б.Е. Винтайкин
6
0
1
2
2
0
1
i
i
i
i
x x
x x
,
(6)
где
x
(0)
=
т
(0) (0)
(0)
(0)
1 2
,
, ,
, ,x
i
N
x x
x
– один из входных параметров
задачи – вектор концентраций исходного сплава, который распадает-
ся на две фазы.
Свободная энергия образования твердого раствора (1) в состоянии,
соответствующем фазовому равновесию системы, достигает миниму-
ма в пространстве параметров термодинамического равновесия –
составов всех фаз и объемных долей фаз (
x
(1)
,
x
(2)
,
ν
) – с учетом огра-
ничений (5) и (6) при фиксированной температуре
T
(рассматривае-
мой как параметр задачи). Причем равновесный фазовый состав
сплава существенно зависит от состава исходного твердого раствора
x
(0)
, распадающегося на две фазы [6]. Поэтому вектор концентраций
компонентов в исходном твердом растворе также рассматривается
как параметр задачи и должен быть зафиксирован на каждом этапе ее
решения. Таким образом, формально вычисление равновесных соста-
вов и объемных долей фаз в рамках модели предполагает решение
задачи локальной минимизации функции (1) в пространстве составов
всех фаз и объемных долей фаз с учетом ограничений (5) и (6):
(1) (2)
(0)
(1) (2)
(1) (2)
const
2 ,
2 ,
,
,
const
,
,
min
,
,
,
T
f
p T
f
p T
F
F
x x ν
x
x x ν
x x ν
(7)
где
x ̃
(1)
,
x ̃
(2)
– соответственно искомые составы фаз α
1
и α
2
в состоянии
равновесия;
т
1 2
( , )
ν
– искомый вектор объемных долей этих фаз.
Если в целевую функцию (1) включить ограничения (5) и (6), ко-
торые, в частности, связывают концентрации элементов и объемные
доли обеих фаз, а также концентрации элементов каждой из фаз друг
с другом, то задачу (7) можно свести к виду [7]
(1)
(0)
1
(1)
(1)
const
2 ,
1
2 ,
1
,
const
,
min
,
,
T
f
p T
f
p T
F
F
x
x
x
x
(8)
причем здесь
x
(1)
=
т
(1) (1)
(1)
(1)
1 2
1
,
, ,
, ,x
i
N
x x
x
– вектор
N
– 1 неза-
висимых концентраций фазы α
1
(одно из ограничений (5) позволяет
выразить концентрацию одного из компонентов фазы через концен-
трации остальных). Таким образом, всего имеется
N
параметров ми-
нимизации:
N
– 1 независимая концентрация компонентов фазы α
1
и
объемная доля этой фазы. Далее для краткости обозначим набор пара-
метров минимизации через
x
(т. е.
x
= (
x
(1)
, ν
1
)), а целевую функцию –
через
F
=
F
(
x
).
