Многомерная дискретная фазовая система с
кусочно-линейной характеристикой …
7
Учитывая (8), (9), это условие можно записать в виде
1
1
1 2
1 1
1
,
,
, ,
|
/ .
U
U S S
S
n
c d V
V V V V e
(11)
При обратном условии образ точки
1
M
оказывается «выше» плоско-
сти
.
Таким образом доказана нижеследующая лемма.
Лемма 3.
При условии
(11)
седловая неподвижная точка не име-
ет гомоклинических траекторий. Когда
1
1 2
1 1
1
,
,
, ,
|
1
,
U S S
s
n
U
V V V V e
c
d V
образ точки
1
M
попадает на устойчивое многообразие, т. е. проис-
ходит рождение гомоклинической траектории седловой неподвиж-
ной точки.
Из лемм 1–3 вытекает следующая теорема.
Теорема.
В области параметров
1
1 2
1 1
1
1 2
1 1
1
1
,
,
, ,
|
/
,
,
, ,
|
1
U S S
S
n
U S S
S
n
U
c
V V V V e
V V V V e
c
d V
седловая неподвижная точка отображения (5) имеет грубую го-
моклиническую траекторию, лежащую в трансверсальном пересече-
нии устойчивого и неустойчивого многообразий.
Важность этих утверждений определяется тем, что существование
гомоклинической траектории служит одним из критериев захвата в
дискретной системе фазовой синхронизации, а бифуркация ее исчез-
новения является одним из условий для определения полосы захвата.
ЛИТЕРАТУРА
[1]
Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э.
Теория колебаний
. 2-е изд.
Москва, Физматгиз, 1959, 916 с.
[2]
Попов Е.П., Пальтов И.П.
Приближенные методы исследования нелиней-
ных автономных систем
. Москва, Физматгиз, 1960, 792 с.
[3]
Методы исследования нелинейных систем автоматического управления
.
Нелепина Р.А., ред. Москва, Наука, 1975, 448 с.
[4]
Шахгильдян В.В., Ляховкин А.А.
Системы фазовой автоподстройки ча-
стоты с элементами дискретизации
. Москва, Связь, 1979, 224 с.
[5]
Бунимович Л.А. Системы гиперболического типа с особенностями.
Со-
временные проблемы математики. Динамические системы
. Москва,
ВИНИТИ, 1985, т. 2, с. 154–171.
