Стационарное решение уравнения для характеристической функции, описывающей броуновское движение при воздействии пуассоновского случайного процесса - page 4

А.Н. Морозов
4
       
, ,
, g t g t
i F t g t
t
   
     
 
 
2 exp 1 , . mkT g t     
     
   
    
(14)
Считая детерминированную силу постоянной, т. е.   F t F  
=const, запишем уравнение (14) для стационарного случая:
     
2 exp 1 , dg mkT
i Fg g
d
     
            
     
(15)
или
       
2 exp . dg F mkT
i g g g
d
     
       
 
      
(16)
Решение уравнения (16) имеет вид [13]
  2 exp Ei ln ,
2 2
F mkT mkT
g i C
          
              
             
(17)
где  
Ei z — интегральная показательная функция; 0,577  C — по-
стоянная Эйлера. Разложение интегральной показательной функции
 
Ei z в ряд (см. [14]) позволяет представить решение (17) в виде
    2
1
exp 1 .
2 !
n n
n
n
F mkT
g i
n n


      
        
         
 (18)
Если в выражении (18) сохранить только первый член ряда, то
оно принимает вид, полностью совпадающий с формулой (10), опи-
сывающей случай винеровского процесса, соответствующий тради-
ционному описанию броуновского движения.
Проанализируем решение (18) при сохранении двух первых чле-
нов ряда в сумме под экспонентой:
  2 2 2 2 4 exp .
2 8
F mkT
g i m k T   
      
 
 
 
(19)
Тогда можно определить первые четыре момента функции распреде-
ления импульса броуновской частицы [10]: