Стационарное решение уравнения для характеристической функции, описывающей броуновское движение при воздействии пуассоновского случайного процесса - page 3

Стационарное решение уравнения для характеристической функциии…
3
         
2 , ,
, , . g t g t
i F t g t mkT g t
t
   
        
 
(7)
Далее будем считать детерминированную силу постоянной:
  const. F t F   Тогда можно записать уравнение (7) для стацио-
нарного случая, когда  , 0, g t
t
 


в виде
     
2 , dg i F mkT g
d

      

(8)
или
    . dg Fi mkT g
d
  
    
   
(9)
Решение уравнения (9) дает
  2 exp .
2
F mkT
g i  
    
 
  
(10)
Обратное преобразование Фурье позволяет определить функцию
распределения импульса броуновской частицы:
    2
1 exp .
2 2
p F
f p mkT mkT
 
 
  
    
(11)
Далее рассмотрим случай, при котором процесс  
W t в уравне-
нии (2) считается пуассоновским с нормальным распределением
скачков. Для такого процесса характеристическая функция  
0 , g t
имеет вид [1]
  2
0 , exp exp 1 , mkT
g t t
      
     
     
      
(12)
где  — интенсивность скачков пуассоновского процесса. Тогда в
соответствии с выражением (5) функцию  , t   можно записать в
виде
  2 , exp 1 , mkT
t     
      
   
    
(13)
а уравнение (4) в виде