О.В. Рогозин, К.А. Стройкова
4
1/2
,
1,
2
2
j k
j n n k
n
c
c h
− +
=
∑
,
(6)
1/2
,
1,
2
2
j k
j n n k
n
d
c g
−
+
=
∑
.
(7)
Таким образом, процесс декомпозиции полностью дискретный.
Последовательности
h
n
и
g
n
называются фильтрами, на них нала-
гают ограничения [2]:
2
2
2
2
,
2 (
) δ
n k p k
n k p k
n p
n
h h
g g
+ +
+
+
+
=
∑
,
(8)
2
2
2
2
,
2
2
δ
n k n p
n k n p
k p
n
n
h h
g g
+ +
+ +
=
=
∑
∑
,
(9)
2
2
2
0
n k n p
n
h h
+ +
=
∑
.
(10)
Матричное представление DWT.
Пусть
v
j
— последователь-
ность конечной длины
c
j,n
для некоторого
j
. Этот вектор преобразует-
ся в вектор
v
j
+1
, содержащий последовательности
c
j
+1,
n
и
d
j
+1,
n
, каждая
из которой половинной длины. Преобразование может быть записано
в виде матричного умножения
v
j
+1
=
M
j
v
j
, где матрица
M
j
— квадрат-
ная, состоит из нулей и элементов
h
n
и является ортонормированной,
а обратная ей матрица — транспонированной. В формулах (11) и (12)
представлен пример прямого и обратного преобразования для филь-
тра длиной
L
= 4, последовательности длиной
N
= 8, начального зна-
чения
j
= 0:
10
0
1
2
3
00
11
0
1
2
3
01
12
0
1
2
3
02
13
2
3
0
1
03
10
3
2 1
0
04
11
3
2 1
0
05
12
3
2 1
0 06
13
1
0
3
2 07
2
c
h h h h
c
c
h h h h
c
c
h h h h c
c
h h
h h c
d
h h h h
c
d
h h h h
c
d
h h h h c
d
h h
h h c
⎡ ⎤
⎡
⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥
= ⎢ ⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥
−
−
⎢ ⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥
−
−
⎢ ⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥
−
−
⎢ ⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥
−
−
⎢ ⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎣
⎦ ⎣ ⎦
. (11)
Выражения (6) и (7) — это один шаг DWT. Полное DWT заклю-
чается в итеративном умножении верхней половины вектора
v
j
+1
на
квадратную матрицу
M
j
+1
, размер которой 2
d
–
j
. Эта процедура может
повторяться
d
раз, пока длина вектора не станет равна единице [2]:
