Особенности обработки растровых изображений …
3
Дискретное вейвлетное преобразование (DWT).
При вейвлет-
ном преобразовании поочередно преобразуются векторы матрицы
изображения по всем координатам. Затем рассматриваемая область
уменьшается в два раза. При обратном вейвлет-преобразовании к
данным применяется та же последовательность действий, но в обрат-
ном порядке.
Под кратномасштабным анализом понимается описание про-
странства
L
2
(
R
) через иерархически вложенные подпространства
V
m
,
которые не пересекаются и дают в пределе
L
2
(
R
), т. е.
2
{0},
( )
m
m
m Z
m Z
V
V L R
∈
∈
=
=
I U
.
(1)
Эти пространства имеют следующие свойства. Для любой функ-
ции
f
(
x
)
∈
V
m
ее сжатая версия будет принадлежать пространству
V
m
–1
,
1
( )
(2 )
m
m
f x V f x V
−
∈ ⇔ ∈
.
(2)
Существует такая функция
φ
(
x
)
∈
V
0
, что ее сдвиги
φ
0,
n
(
x
) =
φ
(
x
–
n
),
n
∈
Z
образуют ортонормированный базис пространства
V
0
.
Следовательно, функции
/2
,
( ) 2 (2
)
m
m
m n
x
x n
−
−
φ
= φ −
(3)
образуют ортонормированный базис пространства
m
V
. Эти базисные
функции называются масштабирующими, так как они создают мас-
штабированные версии функций в
L
2
(
R
).
Пусть имеется некоторая непрерывная функция
f
0
(
x
)
∈
V
0
. Дис-
кретный сигнал
c
n
может быть представлен как последовательность
коэффициентов при масштабирующих функциях, по которым рас-
кладывается
f
0
(
x
):
0
0,
0,
( )
( )
n n
n
f x
c
x
=
ϕ
∑
,
(4)
где
c
0,
n
=
c
n
. Сигнал интерпретируется как последовательность коэф-
фициентов разложения, полученная в ходе кратномасштабного ана-
лиза функции
f
0
(
x
). Данная функция декомпозируется:
0
1
1
1,
1,
1,
1,
( )
( ) ( )
( )
ψ ( )
k k
k k
k
k
f x f x e x
c
x
d
x
= + = φ +
∑ ∑
.
(5)
Таким образом, получили две новые последовательности
c
1,
n
и
d
1,
n
. Этот процесс может быть продолжен по
f
1
(
x
). Функция
f
0
(
x
) будет
представлена совокупностью коэффициентов
d
m,n
,
m
∈
Z
+
,
n
∈
Z
.
Вычисление коэффициентов
c
j,k
и
d
j,k
возможно итеративно без
использования функций
φ
(
x
) и
ψ
(
x
). Для произвольного
j
