Тогда общее решение неоднородного уравнения (3) имеет вид
˜
v
=
BI
0
(
p
Pe
p r
1
) +
1
p
+
Po
Po
р
2
.
Константу интегрирования
В
определим из граничного условия:
r
1
= 1
,
˜
v
= 0
:
B
=
−
1
pI
0
(
√
Pe
p
)
+
Po
Pe
p
2
I
0
(
√
Pe
p
)
.
Окончательное решение операторного уравнения (3)
˜
v
=
I
0
(
√
Pe
pr
1
)
pI
0
(
√
Pe
р
)
+
Po
I
0
(
√
Pe
pr
1
)
Pe
p
2
I
0
(
√
Pe
p
)
+
1
p
+
Po
Pe
∙
p
2
.
(4)
Обращение к пространству оригиналов осуществляется следую-
щим образом:
v
(
r
1
, x
1)
=
=
1
2
πi
j
+
i
∞
Z
j
−
i
∞
1
p
+
Po
Pe
p
2
−
I
0
(
√
Pe
pr
1
)
pI
0
(
√
Pe
p
)
−
Po
I
0
(
√
Pe
pr
1
)
Pe
p
2
I
0
(
√
Pe
p
)
e
px
1
dp,
где
j
=
Re
(
p
)
,
i
=
√ −
1
.
Подынтегральная функция аналитична во всей комплексной плоско-
сти
p
, за исключением особых точек, и удовлетворяет условию
lim
F
(
p
) = 0
.
Тогда, как известно из теории функций комплексного переменного,
1
2
πi
j
+
i
∞
Z
j
−
i
∞
F
(
p
)
e
pt
dp
=
n
=
k
X
n
=1
Res
F
(
p
)
e
pt
a
n
=
f
(
t
)
,
где
a
n
— особая точка функции-изображения
F
(
p
)
;
f
(
t
)
— функция-
оригинал.
В свою очередь
Res
F
(
p
)
e
pt
a
n
=
1
(
m
−
1)!
lim
p
→
a
d
m
−
1
dp
m
−
1
(
p
−
a
)
m
F
(
p
)
e
pt
,
где
m
— кратность особой точки
a
.
Кроме того, если функция
F
(
p
)
может быть представлена в виде
F
(
p
) =
A
(
p
)
B
(
p
)
,
где
А
(
р
)
и
В
(
р
)
— многочлены, причем степень
А
(
р
)
меньше степени
144
1,2 4