Граничные условия для радиальной симметрии
r
= 0
;
∂
Т
∂r
= 0
;
r
=
R
;
Т
=
Т
0
.
Приведем уравнение к безразмерному виду, обозначим
v
=
T
−
T
C
T
0
−
T
C
;
r
1
=
r
R
;
х
1
=
х
R
,
тогда
r
=
R r
1
;
х
=
R
х
1;
dr
=
R dr
1
;
dx
=
R dx
1
;
∂T
∂r
=
∂v
∂r
(
T
0
−
T
C
);
∂T
∂x
=
∂v
∂x
1
(
T
0
−
T
C
)
.
Приведем уравнение (1) к виду
1
R
2
∂
2
v
∂r
2
1
(
T
0
−
T
C
) +
1
R
2
r
1
∂v
∂r
1
(
T
0
−
T
C
)
−
−
wρC
p
Rλ
эф
∂v
∂x
1
(
T
0
−
T
C
) +
q
v
λ
эф
= 0
.
Умножая обе части уравнения на
R
2
T
0
−
T
C
, получаем
∂
2
v
∂r
2
1
+
1
r
1
∂v
∂r
1
−
RwρC
p
λ
эф
∂v
∂x
+
q
v
R
2
λ
эф
(
T
0
−
T
C
)
= 0
,
где
RwρC
p
λ
эф
=
Pe — критерий Пекле;
q
v
R
2
λ
эф
(
T
0
−
T
C
)
=
Po — крите-
рий Померанцева, выражающий отношение количества теплоты, вы-
деляемой источником в единицу времени в объеме
R
, к максимально
возможному количеству теплоты, передаваемой теплопроводностью.
Тогда уравнение в безразмерной форме записывается так
∂
2
v
∂r
2
1
+
1
r
1
∂v
∂r
1
−
Pe
∂v
∂x
1
+
Po
= 0
.
(2)
Начальные условия
х
1
= 0;
v
= 1
; граничные условия
r
1
= 0
;
∂v
∂r
1
= 0
;
r
1
= 1
;
v
= 0
.
Выполним преобразование Лапласа уравнения (2) по перемен-
ной
х
1
. В результате получим
∂
2
˜
v
∂r
2
1
+
1
r
1
∂
˜
v
∂r
1
−
Pe
р
˜
v
+
Po
= 0
,
(3)
где
р
— искомая комплексная функция.
В результате преобразования получено неоднородное дифференци-
альное уравнение Бесселя в пространстве изображений.
143
1 3,4