Согласно [4], можно ввести некоторый вектор
n
=
(
sin
θ
,
sin
θ
sin
ϕ
,
cos
θ
)
и задать томограмму как функцию на поверхности сферы. Исходя
из сказанного выше, томограмма
T
(
m
,
U
)
может быть определена сле-
дующим образом:
T
(
m
,
U
)
=
T
(
m
,
n
).
Например, пусть задана матрица плотности
ρ
двухкубитного со-
стояния, тогда томограмма:
T
(
m
1
,
m
2
,
N
,
n
)
=
(
U
+
ρU
)
m
1
,
m
2
,
m
3
,
m
4
,
где матрица
U
определяется тензорным произведением унитарных
матриц
U
=
U
1
⊗
U
2
,
а матрица
U
i
, в свою очередь, определяется по формуле (6). Векторы
n
и
N
определяются в терминах углов Эйлера
ϕ
1
,
θ
1
и
ϕ
2
,
θ
2
соответ-
ственно.
Условие нормировки длятомограммы
T
(
m
,
U
)
можно записать
в следующем виде:
m
T
(
m
,
U
)
=
1,
T
(
m
,
U
)
dU
=
1,
где
dU
— мера Хаара на унитарной группе с нормировкой
dU
=
1
.
Кватернионыи спиновая томография.
Под кватернионами, как
известно, понимаетсясистема
H
гиперкомплексных чисел, образую-
щаянад полем вещественных чисел
R
векторное пространство
L
(
R
)
,
причем размерность
dim
L
=
4
. Рассмотрим единичный кватернион
q
=
q
0
q
1
q
2
q
3
.
Соотношение между углами Эйлера (
θ
,
ϕ
,
ψ
) и кватернионом
q
⎡
⎣
ϕ
θ
ψ
⎤
⎦
=
⎡
⎣
arctg
2
2(
q
0
q
1
+
q
2
q
3
), 1
−
2(
q
2
1
+
q
2
2
)
arcsin
(2(
q
0
q
2
−
q
1
q
3
))
arctg
2
2(
q
0
q
3
+
q
1
q
2
), 1
−
2(
q
2
2
+
q
2
3
)
⎤
⎦
=
=
⎡
⎣
arctg
2
{
α
(
q
0
,
q
1
,
q
2
,
q
3
)}
arcsin
{
β
(
q
0
,
q
1
,
q
2
,
q
3
)}
arctg
2
{
γ
(
q
0
,
q
1
,
q
2
,
q
3
)}
⎤
⎦
,
(7)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2012
259
1,2 4,5