где
q
,
p
и
ε
,
σ
— обобщенные координаты и импульсы,
μ
,
μ
,
η
,
η
—
произвольные постоянные. Как и всякое каноническое преобразова-
ние, (2) сохраняет скобку Пуассона в классическом случае и коммута-
тор в квантовом случае.
Дляматрицы
M
справедливо разложение Ивасавы, поскольку
Sp
2
(
R
)
является полупростой группой Ли:
μ η
η μ
=
α
0
0
α
−
1
1
ν
0 1
cos
φ
sin
φ
−
sin
φ
cos
φ
(3)
параметры
α
∈
(0;
∞
)
,
ν
∈
(
−∞
;
∞
)
,
φ
∈
[
−
π
;
π
]
.
Таким образом, частным случаем преобразования (2) является дей-
ствие матриц вращениягруппы SO
(
R
)
:
cos
θ
sin
θ
−
sin
θ
cos
θ
,
где
θ
∈
R
/
2
π
Z
— угол поворота. В случае поворота (2) фазового про-
странства на угол
θ
томограмма переменных
ε
и
θ
называют оптиче-
ской.
Исходяиз определения(1), томограмма
T
(
ε
,
μ
,
η
)
представляет со-
бой положительную, нормированную и однородную c порядком
−
1
функцию:
T
(
ε
,
μ
,
η
)
≥
0,
T
(
ε
,
μ
,
η
)
dε
=
1,
T
(
ε
,
μ
,
η
)
=
|
λ
|
T
(
λε
,
λμ
,
λη
),
где
λ
— произвольная постоянная, не равная нулю.
Связь между кватернионами и матричным представлением полу-
простых групп Ли исследована в работе [5].
Квантовая томография дискретных переменных.
В работе [4]
представлен аппарат томографии длядискретных переменных — спи-
новой томографии. Рассмотрим матрицу плотности
ρ
, заданную в сле-
дующем виде:
ρ
=
k
p
k
|
ψ
k
ψ
k
|
,
k
p
k
=
1,
(4)
где
p
k
∈
[0; 1]
. Матрица плотности
ρ
имеет положительный спектр.
Томограмма состояния (4) задается следующей формулой:
T
(
m
,
U
)
=
T
(
+
1
/
2,
U
)
T
(
−
1
/
2,
U
)
=
(
U
+
ρU
)
mm
,
(5)
унитарнаяматрица
U
имеет вид:
U
=
cos
θ/
2
exp
[
i
(
ϕ
+
ψ
)
/
2]
sin
θ/
2
exp
[
i
(
ϕ
−
ψ
)
/
2]
−
sin
θ/
2
exp
[
−
i
(
ϕ
−
ψ
)
/
2]
sin
θ/
2
exp
[
−
i
(
ϕ
+
ψ
)
/
2]
,
(6)
где
θ
,
ϕ
,
ψ
— углы Эйлера.
258
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2012
1 3,4,5