1
УДК 517.929.4
Об альтернативном способе вывода
матричного неравенства Разумихина
© А.В. Горбунов
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
Рассматривается способ вывода достаточного условия асимптотической устой-
чивости для линейной системы с запаздыванием, не использующий классические
теоремы Красовского и Разумихина об асимптотической устойчивости. В основу
подхода положена оценка решений одного скалярного дифференциального неравен-
ства, записанная для значений положительно определенной квадратичной функ-
ции на траекториях рассматриваемой системы. Найденное таким способом усло-
вие асимптотической устойчивости линейной системы с запаздыванием совпада-
ет с известным ранее условием, являющимся следствием теоремы Разумихина об
асимптотической устойчивости.
Ключевые слова:
линейная система с запаздыванием, условия асимптотической
устойчивости, теорема Разумихина.
Введение.
Известно [1], что для асимптотической устойчивости
положения равновесия системы
( )
( )
(
)
0
n
n n
x t
Ax t Bx t h
x R A B R h
(1)
достаточно, чтобы существовала матрица
т
0
P P
и скаляр
0
такие, что выполняется матричное неравенство
т
т
0
A P PA P PB
B P
P
(2)
Здесь и далее символы «
» и «
» обозначают отношение порядка на
множестве симметрических матриц, причем
P Q
, если
т
т
x Px x Qx
для всех
0
x
,
n
x R
, а
P Q
— если
т
т
x Px x Qx
для всех
.
n
x R
Смысл символов «
» и «
» определен аналогично.
Неравенство (2) получено в [1] на основе условия теоремы Разу-
михина об асимптотической устойчивости [2–4] для системы (1), в
котором в качестве функции Ляпунова использована функция
т
( )
.
v x x Px
Отметим, что для рассматриваемой линейной автоном-
ной системы (1) свойства асимптотической, равномерной асимптоти-
ческой и экспоненциальной устойчивостей совпадают, поэтому усло-
