А.В. Горбунов
4
Пусть
т
( )
( ) ( ),
v t
x t Px t
тогда
т
т
т
т
т
т
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
v t
x t A Px t x t PAx t x t h B Px t x t PBx t h
а неравенство (4) примет вид
( )
( )
(
) 0
v t
v t
v t h
(5)
Поскольку
[ 0]
(
) max (
)
( )
t
h
h
v t h
v t
v
, то из (5) следует, что
( )
( )
( )
t
h
v t
v t
v
По лемме 1
0
0
(
)
( )
( )
t t
t
h
v t
v
e
где
0
— корень уравнения
.
h
e
В силу соотношения Рэлея
2
2
min
max
1
( ) ( )
( )
( ) ( )
n
k
k
P x t
v t
P x t
x
x
для
( )
x t
действует оценка
(
)0
2
0
max
min
min
( )
( )
( )
( )
,
( )
( )
t t
t
h
v t
P
x t
x
e
P
P
где
0
0
[ 0]
( )
max (
) .
t
h
h
x
x t
Поэтому нулевое решение системы (1) экспоненциально устой-
чиво. Теорема 1 доказана.
Заключение.
Рассматривается способ получения условий асимп-
тотической устойчивости для систем с запаздыванием, не использу-
ющий классические теоремы Красовского и Разумихина об асимпто-
тической устойчивости. Предлагаемый метод проиллюстрирован на
примере вывода условия асимптотической устойчивости для линей-
ной системы с запаздыванием. Доказанное в работе условие ранее
получено в [1] как следствие теоремы Разумихина об асимптотиче-
ской устойчивости [2–4].
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований (проекты 13-07-00743 и 13-07-00736) и
Программы Президента РФ по государственной поддержке ведущих
научных школ (грант НШ-3659.2012.1).
