Об альтернативном способе вывода матричного неравенства Б.С. Разумихина
3
для некоторых
0
P
и
0
следует существование
, для кото-
рого верно матричное неравенство
т
т
0
A P PA P PB
B P
P
(3)
Для краткости будем использовать обозначения
т
т
P
A P PA P PB
M
N
B P
P
Пусть
max
( )
M
,
max
( )
N
и
max
( )
P
— наибольшие собственные
значения матриц
M
,
N
и
P
соответственно. Тогда [8, 9]
max
( )
M M E
и
max
( )
N
N E
где
n n
E R
— единичная матрица.
Отметим, что
max
( ) 0
M
и
max
max
( )
( ) 0
N
P
. Поэтому
max
max
(
( )
( ))
M N
M P E
где
0
— скаляр. Полагая
max
max
( ) 0
( )
M
P
имеем
0
M N
, т. е.
т
т
(
)
0
A P PA
P PB
B P
P
Положив
, получим требуемое неравенство (3).
Вследствие неравенства (3) для любых
( ) (
)
n
x t x t h R
верно
т
т
т
т
т
т
т
т
т
т
( )
( )
(
)
(
)
( )(
) ( )
(
)
( )
( )
(
)
( ) ( )
(
) (
) 0.
x t
x t
A P PA P PB
x t h
x t h
B P
P
x t A P PA x t x t h B Px t x t PBx t h
x t Px t
x t h Px t h
(4)
