Ю.С. Белинская
2
Рассмотрим горизонтальное движение вертолета [2], задаваемое
системой обыкновенных дифференциальных уравнений второго по-
рядка:
2
2
tg
,
cos
,
u
x q
M
Lu
(1)
где
x
— горизонтальное перемещение вертолета; θ — угол тангажа
вертолета;
M
— общая масса вертолета;
L
=
l
h
/
i
yy
;
l
h
— расстояние от
втулки несущего винта до центра масс фюзеляжа;
i
yy
— второй диа-
гональный элемент матрицы инерции вертолета;
g
— ускорение сво-
бодного падения.
Ставится следующая задача терминального управления:
1 1 1
1
1
( )
, ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0;
x t
x t
x t
t
(2)
2
2
2
2
2
( )
, ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0,
x t
x t
x t
t
(3)
где
1
,
t
1
,
x
2
x
заданы;
2
t
произвольно,
2 1
.
t
t
Таким образом, необхо-
димо перевести вертолет из одного положения равновесия в другое.
Построение управления.
Для решения этой задачи воспользуем-
ся следующим преобразованием пространства переменных системы:
2
1 2
1 2
2
: ( , , , , , ) (
,
, , , ,
).
F t x x u t t t x x x x u
(4)
Это преобразование является симметрией задачи терминального
управления (1) – (2) – (3), причем при этом преобразовании условия
на правом конце отрезка переходят в условия на левом его конце.
Будем искать такое решение задачи (1) – (2) – (3), которое пере-
ходит в себя при преобразовании (4).
Искомое решение удовлетворяет условиям
1 2
3
3
( )
, ( ) 0,
2
x x
x t
t
(5)
где
3 1 2
(
) / 2,
t
t t
при этом значения
3
( )
x t
,
3
( )
t
произвольны. Следо-
вательно, с помощью преобразования (4) удалось исходную задачу (1) –
(2) – (3) свести к упрощенной задаче (1) – (2) – (5). При этом управ-
ление на отрезке
3 2
[ , ]
t t
выбираем симметрично управлению на от-
резке
1 3
[ , ]
t t
.
Обозначим
1 2
3
2
x x
x
. Для решения упрощенной задачи доба-
вим к системе (1) уравнение
