Проведено исследование периодических движений осесимметричного спутника-гиростата, центр масс которого движется по кеплеровой круговой орбите. В качестве переменных была использована модификация переменных Андуайе, в уравнениях движения спутника относительно центра масс учитывали только гравитационный момент. Система дифференциальных уравнений рассматриваемой задачи содержит малый параметр, характеризующий близость осевого и экваториального моментов инерции спутника-гиростата, а также малость проекции собственного кинетического момента гиростата на экваториальную плоскость. Уравнения движения задачи, допускающие интеграл Якоби, с помощью которого осуществляется понижение порядка системы на две единицы, приведены к так называемой форме Уиттекера. Методом Пуанкаре доказано существование многопараметрических семейств периодических решений приведенной системы, найдены порождающие периодические решения.