В работе проведены исследования устойчивости периодических движений осесимметричного спутника-гиростата. Центр масс спутника движется по кеплеровой круговой орбите, в уравнениях движения спутника относительно центра масс учитывается лишь гравитационный момент, в качестве переменных используется модификация переменных Андуайе. С помощью интеграла Якоби осуществляется понижение порядка системы на две единицы, и уравнения приводятся к так называемой форме Уиттекера. Методом Пуанкаре доказано существование многопараметрических семейств периодических решений приведенной системы, проведены исследования устойчивости этих решений по первому приближению.