1
УДК 519.248
Перколяция в конечной полосе для гиббсовских
решеточных моделей
© П.В. Храпов
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
С помощью кластерных разложений решается задача о перколяции случайного
поля в конечной полосе для решеточной перколяционной модели и ферромагнит-
ной модели Изинга. Вероятность непротекания с верхнего основания цилиндра
на нижнее по случайным дефектам представлена в экспоненциальной форме с
аналитической функцией в показателе. Описана кластерная структура пока-
зателя экспоненты, найдены в явном виде первые несколько членов степенно-
го разложения показателя по перколяционному параметру. Доказаны предель-
ные теоремы пуассоновского типа. Показано, что при некоторых воздействиях
мультипликативного характера на форму цилиндра и перколяционный параметр
распределение вероятностей количества дефектных контуров сходится к пуас-
соновскому распределению. И обратно, для любого пуассоновского параметра λ
при фиксированном перколяционном параметре существует последовательность
объемов такая, в которой распределение количества контуров стремится к пу-
ассоновскому распределению с этим параметром λ. Показано, что расчеты без
изменений переносятся на значительно более широкий класс решеточных моделей,
для которых возможны кластерные разложения.
Ключевые слова:
перколяция, решеточная модель, модель Изинга, гиббсовское поле,
контур протекания, предельные теоремы пуассоновского типа.
Перколяция привлекает к себе внимание благодаря возможным при-
ложениям в области наноструктурных материалов. Перколяционную
природу имеют процессы прохождения жидкостей через пористую не-
подвижную фазу, распределения жидкой фазы по межзеренным грани-
цам поликристалла, образования полимерных гелей, а также ферромаг-
нетизм и электропроводность примесных полупроводников. Перколя-
ция возникает при некоторой критической концентрации наполнителя
или пор (пороге перколяции) в результате образования от одной сторо-
ны образца материала до противоположной непрерывной сетки (канала)
из частиц (кластеров) наполнителя [1, 2].
В работе рассматривается задача о протекании случайного поля в
конечной полосе, которая решается с помощью кластерных разложений.
Пусть
,
S h
— цилиндр (все полученные в работе результаты без
изменений переносятся на регулярные решетки произвольного вида),
