ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2012
74
1
0
( )
( ) ( , ) .
x
x
P k R u W k u du
∗
=
∫
(13)
Уравнения (12) и (13) по сути представляют собой уравнения Ви-
нера – Хинчина, обобщенные на модулярный сдвиг с переменным ос-
нованием и базис ОФК. Если в них от относительной переменной
u
перейти к абсолютной
τ
,
то обобщенные уравнения Винера – Хинчи-
на можно записать в функции времени:
0
0
( )
( ) ( , / );
1 ( )
( ) ( , / ) .
x
k
T
x
x
R
P k W k T
P k
R W k T d
T
τ
τ
τ
τ
τ
∞
=
∗
=
=
∑
∫
Можно получить еще одно важное для моделирования сигналов
представление обобщенной автокорреляционной функции. Рассмот-
рим ее как функцию, определенную на интервале [0,1), и представим
в виде ряда Фурье (5) по обобщенным функциям Крестенсона:
0
( )
( ) ( , ),
x
k
R u
R k W k u
∞
=
=
∑
где
1
0
( )
( ) ( , ) .
x
R k R u W k u du
∗
=
∫
Поскольку интервал
/
u T
τ
=
–
нормированное временное рас-
стояние между двумя моментами
1 1
/
z t T
=
и
2 2
/
z t T
=
,
задаваемое
правилом обобщенного сдвига:
u
=
2
z
⊝
1
z
,
то
x
R
(
2
z
⊝
1
z
)
=
2
0
( ) ( ,
k
R k W k z
∞
=
∑
⊝
1
2
1
0
)
( ) ( , ) ( , )
k
z
R k W k z W k z
∞
∗
=
=
∑
(14)
и есть каноническое разложение
( )
x
R u
в базисе ОФК.
Этому разложению соответствует каноническое представление
эргодического случайного процесса
1
( )
( ) ( , ),
y
k
y z m Y k W k z
∞
=
= +
∑
(15)