К.С. Егоров, С.И. Каськов
6
2
2
1
,
t
t
t
a
a
r r
r
∂
∂ ∂
=
+
∂τ
∂ ∂
(1)
где
t
— температура, °С;
τ
— время, с;
a
— температуропроводность
материала цилиндра, м
2
/с;
r
— радиус цилиндра, м.
Введем уровень отсчета температуры от
t
∞
, т. е. новую темпера-
туру
θ
=
t
(
r
,
τ
) –
t
∞
. Тогда получим:
2
2
1
.
a
a
r r
r
∂θ ∂θ ∂ θ
=
+
∂τ
∂ ∂
Начальное условие нагрева неограниченного массива:
θ
(
r
,
τ
= 0) =
=
t
(
r
,
τ
) –
t
∞
= 0. На поверхности
r
=
r
0
ставится граничное условие
1-го рода:
θ
(
r
=
r
0
,
τ
) =
t
0
–
t
∞
=
θ
0
. На удалении от поверхности избы-
точная температура остается нулевой:
θ
(
r
→ ∞
,
τ
) =
t
(
r
,
τ
) –
t
∞
= 0.
Согласно теории подобия и размерностей, введем некоторые ха-
рактерные значения параметров. Из уравнения (1)
2
2
1
a
a
r r
r
∂θ ∂θ ∂ θ
=
+
→
∂τ
∂ ∂
( )
( )
0
0
0
2
0
,
a
a
r
θ
θ
θ
≈
+
τ
δ τ δ τ
(2)
где
r
0
— внутренний радиус цилиндра.
Таким образом, толщина прогрева
( )
0
.
a
r
τ
δ τ ≈
Для оценки толщины прогрева зададим следующие исходные
данные:
• внутренний радиус ледяной муфты
r
0
= 0,005 м;
• температуропроводность льда
a
= 1,08
⋅
10
–6
м
2
/с;
• характерное время плавки
τ
= 3 600 с.
В результате ледяная муфта прогреется на толщину
δ
(
τ
)
≈
0,78 м.
Очевидно, что это значение существенно превышает реальные раз-
меры ледяной муфты. Следовательно, характерное время нагрева
муфты — достаточно малая величина. Отметим, что это время прак-
тически не зависит от внешних условий, а определяется только теп-
лофизическими свойствами льда или изморози.
Точное решение квадратного уравнения (2) относительно
δ
(
τ
) да-
ет формулу
( )
2
0
0
4
0, 5
.
a a
a
r
r
⎡
⎤
⎛ ⎞
⎢
⎥
δ τ ≈
+
+ τ
⎜ ⎟
⎢
⎥
τ
⎝ ⎠
⎣
⎦
(3)
