Природа и расчет скорости эрозионного горения твердого ракетного топлива - page 5

Природа и расчет скорости эрозионного горения твердого ракетного топлива
5
0
( ) 1.
n n
a n w an w wB
w w w
α
∞ ∞ ∞
∗ ∗
α + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
α α ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(3)
Обозначив
( ) ,
n
a n w
x
w
∞
∗
α + ⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
α ⎝ ⎠
(4)
запишем уравнение (3) в виде
1/
0
1 .
1 ( )
n
x
nB w x
n w a n
α
∗
=
⎧ ⎫
α ⎡ ⎤ ⎪ ⎪
+ ⎨ ⎬ ⎢ ⎥
α + α + ⎣ ⎦ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
(5)
Отношение скоростей w∗/ w0 и дробь в квадратных скобках имеют
значение порядка единицы, и если они меньше единицы, то второе
слагаемое в знаменателе вследствие большого значения α оказывает-
ся по крайней мере примерно в 4 раза меньше единицы. Поэтому
уравнение (5) можно решать итерационным методом. Первая итера-
ция дает x(1) = 1. На второй итерации получим
(2)
1/ 1/
(1)
0 0
1 1 .
1 1 ( ) ( )
n n
x
nB w nB w x
n w a n n w a n
α α
∗ ∗
= =
⎧ ⎫ ⎧ ⎫
α ⎡ α ⎤ ⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ + + ⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
α + α + α + α + ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
Прервав на этом итерационный процесс и учитывая выражение
(4), выпишем приближенную формулу для второй пороговой скоро-
сти w∗2 обдува:
1/
2
0
, .
( )
1
n
w
w
a n nB w
n w
∗
∗ α
∗
β α ⎡ ⎤
= β = ⎢ ⎥
α + ⎣ ⎦ ⎛ ⎞
+ β
⎜ ⎟
α + ⎝ ⎠
(6)
Видно, что вторая пороговая скорость в большей мере зависит от
первой пороговой скорости w∗ и в меньшей мере — от масштабной
скорости w0 отрицательного эрозионного эффекта. При этом строгим
условием применимости (6) является неравенство
0
1. nB w
n w
α
∗ ⎛ ⎞
β <<
⎜ ⎟
α + ⎝ ⎠
Согласно формуле (6), в теории эрозионного горения появляется
новый параметр — отношение масштабных скоростей w∗/ w0. Если