ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2012
135
Отметим, что выражения (12) можно представить в виде
 
grad
,
div
z
u
ψ k ψ
(13)
где
1
2
 
ψ i
j
и
, ,
i j k
—
координатные орты. Если положить
Ψ
2
1
,
  
i
j
то выражение (12) также можно записать в традицион-
ном виде:
grad
rot .
u
Ψ
(14)
Примеры использования полученного представления (12).
Рассмотрим вывод уравнения Рэлея в терминах полученного пред-
ставления. Стандартные преобразования с дифференциальными опе-
раторами при подстановке (14) в уравнения движения (2) позволяют
разделить систему уравнений:
2
2
2 2
2 2
1
2
1
1
0,
0,
c t
c t
 
  
ψ ψ
(15)
где
—
оператор Лапласа и
1
2
1
2
c
 
  
и
1
2
2
c
 
—
скорости продольной и поперечной волн. Свободные граничные
условия
0,
0,
0,
0
zz
xz
yz
z
 
с учетом представления (12) принимают вид
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
grad
grad div
0,
2
2
div
0.
z
z
z
z
x y
 
 
 
 
 
 
ψ ψ
ψ
(16)
Здесь оператор
2
grad
.
x y
 
 
 
i
j
Решения для потенциалов с учетом уравнений (15) можно запи-
сать в форме бегущей волны:
exp cos
sin
,
A ik x
y
k z
exp cos
sin
,
ik x
y
k z
ψ B
(17)