ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2012
136
где
k
–
волновое число;
2
2
1
1 ;
c
c
 
2
2
2
1 .
c
c
 
Подстановка выражения (17) в граничные условия (16) приводит
к известному уравнению Рэлея
22
4
1
.

 
По аналогии можно рассмотреть волны Рэлея — Лэмба в пла-
стине, в случае когда нас интересует решение без учета антиплос-
ких движений, и получить соответствующее дисперсионное соот-
ношение.
Отметим также, что дальнейший вывод асимптотической модели
для волны Рэлея [6] приводит к следующим соотношениям на по-
верхности
0
z
между потенциалами
2 2
2 2
1
2
Р
2
2
Р
2
2
2
2
2
2
,
,
2
2
c c
c c
z
x
z
y
c
c
(18)
где
Р
c
—
скорость волны Рэлея. Выражения (12) с учетом (18) соот-
ветствуют трехмерному представлению поля волны Рэлея в терминах
одной гармонической функции [10].
Таким образом, получено представление (12) для компонент пе-
ремещения в терминах потенциалов для трехмерных динамических
задач в случае упругого полупространства, в которых анализ не тре-
бует изучения антиплоского движения. Представление (12) дает воз-
можность упростить решение, поскольку не требует введения допол-
нительного ограничения на компоненты векторного потенциала.
В качестве одного из классов задач, для которого полученное пред-
ставление может найти свое первоочередное применение, можно от-
метить задачи поверхностной и приповерхностной динамики упруго-
го полупространства.
Авторы выражают благодарность д-ру физ.-мат. наук, проф.
Ю.Д. Каплунову за плодотворные обсуждения представленной ра-
боты.
Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ МК-
3150.2012.8.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
M i k h l o w i t z J. The theory of elastic waves and waveguides. Amsterdam.: North
Holland, 1978.
2.
П о р у ч и к о в В. Б. Методы динамической теории упругости. М.: Наука, 1986.
3.
A c h e n b a c h J. D. Wave propagation in elastic solids // Amsterdam.: North Hol-
land, 1973.