ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2012
105
ных уравнений (13), удовлетворяющих таким начальным условиям, с
помощью преобразования Лапласа [11]. Полученные выражения для
функций
, ,
A B C
подставим в равенства (10), (11) и с учетом соотно-
шений (1), (2) получим формулы для потенциалов скорости течений в
верхнем и нижнем слоях жидкости (здесь эти выражения не приведе-
ны ввиду их громоздкости).
Волна, возникающая на свободной поверхности жидкости, опи-
сывается величиной
 
, .
S S r t
Из первого граничного условия (5)
следует, что
1
1 ,
0.
S
z
g t

 
(14)
Воспользовавшись найденной в результате решения системы
дифференциальных уравнений (13) формулой для потенциала скоро-
сти течения в верхнем слое жидкости, представим равенство (14) в
виде
 
 
 
1
2
,
,
, ,
S r t
S r t S r t
(15)
 
  
 
  
0
1
0
0
exp
,
cos
,
2
1
exp 2
t
h J r
S r t
Q
g t
d d
H
 
 
 
 
(16)
  
    
 
 
2
0
0
0
1
,
cos
,
2
t
S r t
U J r
Q
t
d d
 
 
 
 
(17)
 
   
 
 
  
  
exp
ch
exp sh
,
ch
sh
ch
2 1
sh
H
H h
h
H
U
H
H
H
H
   
 
 
 
(18)
 
 
 
1
th
.
1
th
g H
H
 
 
(19)
При равенстве плотностей жидкостей в верхнем и нижнем слоях
1
из формул (15)—(19) находим выражение для волны на по-
верхности однородной бесконечно глубокой жидкости
 
  
 
0
0
0
1 ,
exp
cos
.
2
t
S r t
h J r
Q r
g t
d d
 
 
(20)
Другой предельный случай соответствует бесконечно большой
плотности жидкости нижнего слоя
0 :