ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2012
103
кой жидкости должно выполняться условие затухания волновых воз-
мущений с глубиной [10]. Поэтому уравнение Лапласа для потенциа-
ла скорости нижнего слоя жидкости следует решать при условии, что
2
, ,
0,
.
r z t
z
   
(4)
В рамках рассматриваемого приближения малых волн граничные
условия на свободной поверхности жидкости [9, 10] имеют вид
1
1
0,
,
0,
S
gS
z
t
z
t

 
 
 
(5)
где
g
—
ускорение свободного падения;
S
—
отклонение свободной
поверхности жидкости от ее невозмущенного положения.
Исключив из равенств (5) величину
S
,
можно получить [9, 10]
граничное условие для потенциала скорости
2
1
1
2
0,
0.
g
z
z
t
  
 
(6)
На границе раздела жидких слоев зададим кинематическое условие
равенства нормальных составляющих скорости в верхнем и нижнем
слоях жидкости, а также динамическое условие непрерывности дав-
ления. В приближении малых волн [9, 10] эти условия имеют вид
1
2
,
,
z H
z
z
 
 
 
(7)
2
2
1
1
2
2
1
2
2
2
,
.
g
g
z H
z
z
t
t
     
 
(8)
Общее решение задачи.
Применив преобразование Ханкеля ну-
левого порядка [11]
  
0
0
, ,
, ,
,
F z t
r z t J r rdr
где
0
J
—
функция Бесселя нулевого порядка, к обеим частям урав-
нения (3), получим обыкновенное дифференциальное уравнение
2
0
zz
F F
 
с общим решением
 
 
 
, ,
,
exp
,
exp .
F z t
A t
z B t
z
 
(9)