ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2012
88
где
 
 
 
ˆ ( , )
( , )
.
n
n
k
k
n
r
l
r
l
K
(18)
Поскольку, согласно лемме 2,
 
( , )
( , ),
n
k
M r
l
r l
 
для точечной оценки (17) получим
 
( , )
( , )
.
n
k
M l
r l
  
(19)
Из формул (1) и (4) имеем
( , )
( ),
l
l
 
 
откуда, применив операцию математического ожидания к обеим ча-
стям с учетом формул (2) и (5), найдем
( , )
( , ).
l
r l
 
 
(20)
Поскольку правые части (19) и (20) равны, будут равны и левые части:
 
( , )
( , )
.
n
k
M l
l
 
 
Откуда следует, что точечная оценка (17) несмещенная.
Таким образом, доказана теорема 1.
Теорема 1.
Несмещенной точечной оценкой средней наработки
до критического отказа техногенно-опасного объекта служит следу-
ющая величина:
 
 
 
ˆ ( , )
( , )
,
n
n
k
k
n
r
l
l
K
 
где
 
ˆ ( , )
n
k
r
l
—
оценка, определяемая формулой (9), значение
 
n
K
—
формулой (11).
В частности, при
0
из теоремы 1 вытекает следующее утвер-
ждение.
Следствие.
Для техногенно-опасного объекта, у которого кри-
тические отказы могут наблюдаться на интервале времени
 
0, ,
l
несмещенной точечной оценкой средней наработки до критического
отказа служит величина