ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2012
84
где
k
—
число отказавших ТОО в течение времени
из всех одно-
типных объектов в количестве
n
,
наблюдаемых в процессе испытаний
(
или подконтрольной эксплуатации);
i
z
наработка
i
-
го отказавшего
ТОО на интервале времени
( ,
)
l
 
из числа
m
всех отказавших
ТОО на этом интервале
1, 2, ,
.
i
m
Покажем, что точечная оценка (3) смещенная, т. е.
 
( , ),
ˆ ( , )
n
k
M
l
l
 
 
и найдем несмещенную точечную оценку показателя (2), используя
два вспомогательных утверждения.
Определим случайную величину
,
если отказ ТОО произошел внутри интервала
( )
( ,
),
,
если отказа там не было.
l
l
l
 
 
  

Докажем первое утверждение.
Лемма 1.
Справедлива следующая формула:
( )
( , ),
M l
r l
 
(5)
где
0
1
( , )
(
) ,
( )
l
r l
P t dt
P
 
( )
P
—
вероятность безотказной работы ТОО в течение времени,
указанного внутри скобок
.
Доказательство.
Определим функцию распределения случайной
величины (4). Имеем
 
 
,
F t
Pr
l
t
 
где
( )
Pr
—
вероятность события, заключенного внутри скобок при
0
t l
 
(
от англ. probability — вероятность).
Используя формулу условных вероятностей, найдем
 
,
Pr
t
F t
Pr
  
(4)