ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2012
68
достатки с точки зрения численной реализации их решений. Числен-
ное решение уравнения (5) может оказаться неустойчивым, если ча-
стота
окажется близкой к собственной частоте внутренней задачи
Неймана для области, ограниченной контуром
,
согласно теоремам
Фредгольма. Полярность ядер обоих уравнений требует аккуратного
выделения их особенностей при численной аппроксимации инте-
гральных операторов, что усложняет алгоритм. Поэтому на практике
вместо уравнения (4) часто используют уравнение
 
1
1
1
1
0
[ ( , )] ( )
4
p
i H kR P P j P d
0
exp ( ) cos(
) ,
ik
 
 
 
(6)
где контур Γ
расположен внутри контура
и подобен ему:
r =

(
),
причем
1,
а
расстояние между точками
Р
и
Р
1
R
(
P
,
P
1
)
= {
2
(
)
+
+
2
2
(
)
2

(
)
(
)
cos(
)}
1/2
;
j
(
P
1
) —
вспомогательный ток
на контуре Γ
,
имеющий смысл обычного электрического тока на по-
верхности металла, если контуры
и Γ
совпадают (
=
1).
Ядро
уравнения (6) гладкое аналитическое, так как значение
R
(
P
,
P
1
)
нигде
не обращается в нуль. Функция Ханкеля
 
1
0
H
=
J
0
+ iN
0
,
где функции
Бесселя
J
0
и Неймана
N
0
вычислены с помощью стандартных проце-
дур из библиотек наиболее распространенных языков программиро-
вания.
Интегральное уравнение первого рода (6) с гладким ядром, хотя
формально и является некорректно поставленной задачей, приводит к
устойчивым вычислительным процедурам при его замене на систему
алгебраических уравнений, если контуры
и Γ
достаточно близки,
что обеспечивает в матрице алгебраической системы преобладание
главной диагонали.
Более подробная запись интегрального уравнения (6) имеет вид
 
2
1
0
( , ) ( )
4
i H kR
j
d
 
 
0
exp ( ) cos(
) ,
ik
 
 
 
(7)
где
( )
j
d
= j(
)
2
2
( )
( )
 
 
d
—
ток, умноженный на
диф-
ференциал дуги контура. Если ток
( )
j
найден из уравнения (7)
(
точно или приближенно), потенциал простого слоя (3) с контуром
Γ
вместо
явно описывает поведение рассеянного поля всюду вне
контура
.
Нас будет интересовать дальняя зона волнового поля,
т. е. значения
kR
(
M
,
P
)
= k
[
r
2
+
2
2
(
)
2
r
(
)
cos
(
)]
1/2
при
kr
1.
При этом и значения
kR
(
M
,
P
)
1,
что позволяет заме-