ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2012
67
янную волну
u
(
r
,
)
= u
s
(
r
,
)
+
0
exp cos(
) ,
ikr
 
удовлетворяю-
щую условию излучения, получаем для
u
s
(
r
,
)
задачу вида
u
s
+
2
s
k u
=
0,
(2)
u
s
|
=
0
exp (
) ,
ik
  
где
—
контур поперечного сечения цилиндра, описываемый в по-
лярных координатах уравнением
r =
(
);
0
—
угол падения плос-
кой волны.
Рассеянное поле
u
s
можно представить, например, потенциалом
простого слоя:
u
s
(
М
)
=
 
1
0
[ ( , )] ( ) ,
4
p
i H kR M P j P d
(3)
где
 
1
0
H
—
функция Ханкеля первого рода, нулевого порядка;
P
—
точки на контуре
,
а
М
—
в пространстве, вне контура
;
R
(
M
,
P
) —
декартово расстояние между точками
M
и
P
,
R
(
M
,
P
)
= {
r
2
+
2
(
)
–
2
r
(
)
cos
(
)
}
1/2
;
j
(
P
) —
ток, наведенный на контуре
.
Пред-
ставление (3) при соблюдении краевого условия задачи (2) приводит
к интегральному уравнению Фредгольма первого рода:
 
1
1
0
1
1
[ ( , )] ( )
4
p
i H kR P P j P d
=
0
exp
cos(
) ,
ik
 
 
(4)
со слабополярным ядром, имеющим логарифмическую особенность
при совпадении точек
P
и
P
1
,
что обеспечивает устойчивость вычис-
лительных процедур его численного приближенного решения. Реше-
ние можно также искать в виде потенциала двойного слоя:
u
s
(
М
)
=
 
1
0
[ ( , )] ( )
,
4
p
p
i
H kR M P P d
n
что приводит к интегральному уравнению Фредгольма второго рода:
( )
P
=
 
1
1
1
0
1
1
[ ( , )] ( )
2
p
p
i
H kR P P P d
n
+
0
2
exp ( ) cos(
) ,
ik
 
 
(5)
Уравнение (5) также имеет полярное ядро интегрального опера-
тора, интегрируемое с квадратом модуля, и является корректно по-
ставленной задачей. Тем не менее уравнения (4) и (5) имеют свои не-