ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2012
66
при создании быстродействующего численного алгоритма и доступ-
ный для реализации на любых современных ПК.
Отметим также, что плоские (двумерные) задачи рассеяния, име-
ющие, на первый взгляд, мало общего с реальной практикой, имеют
практическое значение, особенно в высокочастотной области, благо-
даря принципу Фока [1]. Согласно этому принципу, если длина вол-
ны электромагнитного поля намного меньше характерных размеров
препятствия, то векторная трехмерная краевая задача для выпуклого
тела с точностью до погрешности, пропорциональной некоторой сте-
пени отношения длины волны к этому размеру, распадается на две
плоские скалярные краевые задачи первого и второго рода. Границы
плоских областей совпадают при этом с границами сечений тела в
плоскостях главных кривизн.
Математическая постановка рассматриваемой краевой задачи
электродинамики формулируется следующим образом. Общая си-
стема стационарных уравнений Максвелла (при гармонической зави-
симости всех векторных полей от времени)
rot
H +
i
E
=
j
,
rot
E –
i

Н
=
0
в случае рассеяния
Е-
поляризованной плоской волны на бесконечном
металлическом цилиндре с направляющей
при ее распространении
в ортогональном оси цилиндра направлении сводится к скалярной
плоской задаче для уравнения Гельмгольца в полярных координатах
относительно
z-
компоненты
u
(
М
)
= Е
z
электрического поля с крае-
вым условием первого рода на границе контура поперечного сечения
цилиндра, т. е. к задаче вида
u
+
2
k u
=
0,
(1)
u|
=
0,
где
k =
 
—
волновое число, если из второго уравнения системы
Максвелла выразить величину
Н
,
подставить в первое уравнение и
воспользоваться известным тождеством
rotrot
Е
=
grad(div
Е)
Е
с
учетом того, что поле
Е
имеет отличную от нуля компоненту
Е
z
[2]
.
Несмотря на однородность задачи (1), она имеет нетривиальное ре-
шение, так как не удовлетворяет условию излучения Зоммерфельда
на бесконечности [3], причем слагаемым является плоская волна
0
exp cos(
) ,
ikr
 
распространяющаяся из бесконечно удаленной
точки к началу координат (временная зависимость полей от времени
полагается имеющей вид exp(
).
iwt
Выделяя в решении
u
(
r
,
)
рассе-