ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2012
14
Достаточно установить положительность его дискриминанта. Вычис-
ляя дискриминант, вынося из полученного результата множитель
2
2
t
и проводя замену
2 2
t
 
,
получаем
2 2
2 2 4
4
4 2
2 2 2
2 2
(
)(
cos
2
2
 
 
  
 
 
2 2 2
2 4 4 4 2
2
cos
cos ).
 
 
  
Первые два сомножителя этого произведения положительны, а по-
следний равен
2
2 2 2
2
2 2 2
(
)
(
)
sin
 
и также положителен
при
1
  
  
.
Отсюда следует положительность дискриминанта и
справедливость неравенства.
Отметим, что отрицательность
W
приводит к монотонному по-
вороту постоянного вектора семейством преобразований
( )
j
V
по
ходу часовой стрелки при возрастании величины
.
Таким образом,
теорема доказана.
При
j
и
0
 
имеем
ch
( )
0
ch
j
j
j
g
V
g

,
где
2
2
j
j
j
g t
.
Докажем теперь, что вектор
0
lim ( ) ( )
j
j
V
 
 
a
1
1
1
( )
( ),
( )
j
j
j
a
b
a
суть вектор конечной длины, имеющий
направление оси абсцисс. Следовательно, вектор функции
( )
j
a
при
любом
2
1
j m
  
является непрерывным на отрезке [1,
].
Лемма 2
.
При
2
j
справедливо равенство
( ) ( , 0),
j
j
a
a
где
0
j
a
.
Имеем
2
( )
a
2
2
2
2
0
lim (
1
) (
1 0)
 
 
 
   
.
Отметим,
что
2
2 2
0
( )
lim
1 0
b
 
 
 
 
.
Используя метод индукции, достаточно до-
казать, что из соотношений
)
2
2
0
(
lim
0
j
j
b
c
 
 
 
и
( )
0
j
j
a
a
 
следует, что
1
1
2
2
0
lim
0
j
j
b
c
 
 
 
и
1
1
( )
0
j
j
a
a
 
.
Действи-
тельно, при
j
имеем
1
1
cos
sin
sin
cos
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
a a
b
b a
b