ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2012
13
Чтобы доказать отрицательную определенность этой квадратич-
ной формы, достаточно доказать положительность ее дискриминанта
2
uw v
.
Вычислив дискриминант, вынося из полученного результата
положительный множитель
2
2
t
и проводя замену
2
2
t
,
по-
лучим выражение
2 2
2 2 4
4
4 2
2 2 2
2 2
(
)(
ch 2
2
 
 
  
 
 
2 2 2
2 4 4 4 2
2
ch
ch ).
 
 
  
Здесь второй сомножитель отрицателен при
1
  
  
,
а послед-
ний сомножитель можно переписать как
2
2 2 2
2
2 2 2
2
2 2 2
2
(
)
(
)
sh (
) (
sh ) 0
 
 
  
Отсюда следует положительность дискриминанта и отрицатель-
ность
W
.
Случай 2:
1
j
 
  
.
Полагая, что
j
,
2
2
q
 
,
j
qt
qt
 
,
получаем
2
2
2
2
sin
cos
sin cos
q
X x
y
Y x
y
q
Запишем выражение
XY X Y xy x y W
    
где
W
не зависит от производных
x
и
y
.
Нам нужно установить
отрицательность выражения
W
,
которое представляет собой дробь со
знаменателем
3
2
2
2 2
2
[(
)( )
] 0
 
 
и числителем, являющимся
квадратичной формой вида
2
2
2
ux vxy wy
 
с коэффициентами
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2
sin 2
(
)[ (
)
(
)] 0
2
sin 2
(
)[ (
)
(
)] 0
2
(
)
sh
u
w
v
t
 
 
 
 
 
 
  
 
  
 
 
  
 