18
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Приборостроение». 2012
Подставляя уравнение (2) в уравнение Гельмгольца с учетом за-
висимости (1), получаем
( )
2
2
2
2 2
2
2
2
0.
ikR
e k n
f R
R
x y z
⎛
⎞
∂ ∂ ∂
+ + +
=
⎜
⎟
∂ ∂ ∂
⎝
⎠
(3)
Из уравнения (3) получим уравнение для
( )
Rf
:
(
)
2
2 2
2
2
1 0.
f
f ik
k n f
R
R
∂
∂ +
+
− =
∂
∂
(4)
Вследствие большого значения волнового числа
k
первым слага-
емым в уравнении (4) можно пренебречь, тогда уравнение (4) допус-
кает приближенное решение:
2
exp
.
2 2
ikR ik
f
n dR
⎛
⎞
= − +
⎜
⎟
⎝
⎠
∫
Введем обозначение
2
.
Q n dR
=
∫
(5)
Интеграл (5) вычисляется вдоль прямой, соединяющей две точки с
координатами
(
)
, ,
x y z
′ ′ ′
и
(
)
zyx
, ,
. Зададим эту прямую в параметри-
ческом виде:
;
;
,
x
y
z
x x a t y y a t z z a t
′
′
′
= +
= +
= +
(6)
где компоненты направляющего вектора
;
;
.
x
y
z
a x x a y y a z z
′
′
′
= −
= −
= −
(7)
Тогда можно записать
2
2
2
2 2 2
.
x
y
z
dx
dy
dz
dR
dt
a a a dt Rdt
dt
dt
dt
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=
+
+
= + + =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Из уравнений (6) и (7) следует, что
0 1,
t
≤ ≤
из интеграла (5) по-
лучаем
(
)
1
2
0
;
.
x
y
Q R n x a t y a t dt
′
′
=
+
+
∫
(8)
Теперь для функции
) (
Rf
имеем
( )
exp
.
2
Q R
f R
ik
−
⎛
⎞
=
⎜
⎟
⎝
⎠
1 3,4,5,6,7,8