Докажем, что
S
2
→
0
.
Из соотношений (20), (21) вытекает, что
существует
τ
∈
(0, 1)
такое, что
|
cov
(
X
ij
,
X
kl
)
|
≤
Cτ
|
i
−
k
|
+
|
j
−
l
|
,
где
C >
0
—
некоторая постоянная.
Поэтому поле
X
ij
удовлетворяет условию сильного перемешива-
ния с экспоненциально убывающим коэффициентом сильного пере-
мешивания [8]. А значит, поле
ζ
kl
=
S
kl
(
a
)
S
k
−
i
−
p
−
p
,
l
−
j
−
q
−
q
(
a
), (
k
,
l
)
∈
Z
2
,
также будет удовлетворять условию сильного перемешивания с тем же
самым (в данном случае экспоненциально убывающим) коэффициен-
том сильного перемешивания [9]. Поскольку
ζ
kl
удовлетворяют усло-
вию сильного перемешивания и ограничены, то
|
cov
(
ζ
ij
,
ζ
kl
)
|
≤
C
1
τ
|
i
−
k
|
+
|
j
−
l
|
,
где
C
1
>
0
—
некоторая постоянная [10].
Таким образом,
E
S
2
1
≤
1
m
2
n
2
m
−
1
−
p
i
=
0
j
−
1
−
q
j
=
0
δ
2
ij
(
a
)
m
k
=
i
+
p
+
1
n
l
=
j
+
q
+
1
D
[
ζ
kl
]
+
+
1
m
2
n
2
m
−
1
−
p
i
,
i
1
=
0
j
−
1
−
q
j
,
j
1
=
0
|
δ
ij
(
a
)
δ
i
1
j
1
(
a
)
|
m
k
,
k
1
=
i
+
p
+
1
n
l
,
l
1
=
j
+
q
+
1
|
cov
(
ζ
kl
,
ζ
k
1
l
1
)
|
≤
≤
1
mn
m
−
1
−
p
i
=
0
j
−
1
−
q
j
=
0
δ
2
ij
(
a
)2
1
−
i
m
1
−
j
n
+
+
1
m
2
n
2
m
−
1
−
p
i
,
i
1
=
0
j
−
1
−
q
j
,
j
1
=
0
|
δ
ij
(
a
)
δ
i
1
j
1
(
a
)
|
m
k
,
k
1
=
i
+
p
+
1
n
l
,
l
1
=
j
+
q
+
1
Cτ
|
i
−
k
|
+
|
j
−
l
|
≤
≤
C
2
mn
+
1
m
2
n
2
m
−
1
−
p
i
,
i
1
=
0
j
−
1
−
q
j
,
j
1
=
0
|
δ
ij
(
a
)
δ
i
1
j
1
(
a
)
|
≤
C
4
mn
→
0
равномерно по
a
∈
B
.
Докажем теперь дифференцируемость
L
(
a
)
и найдем производную
L
(
a
)
,
т. е. убед имся, что
L
(
a
0
)
=
0
.
Поскольку
X
ij
−
a
10
X
i
−
1,
j
−
a
01
X
i
,
j
−
1
−
a
11
X
i
−
1,
j
−
1
=
ε
ij
−
(
a
−
a
0
)
T
˜
X
ij
,
то
S
ij
(
a
)
=
1
−
2
I
{
ε
ij
<
(
a
−
a
0
)
T
˜
X
ij
},
где
I
(
A
)
—
индикатор произвольного случайного события
A
.
170
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2012