Теорема 4.
Пусть выполнены условия
(9)
—
(11)
и
E
ε
2
11
<
∞
.
(19)
Тогда
L
(
a
)
дифференцируема в области
B
,
det
(
L
(
a
0
))
=
0
и при
m
,
n
→ ∞
1
mn
W
pq
(
a
)
→
L
pq
(
a
)
равномерно по
a
∈
B
.
Доказательство.
Имеем
1
mn
W
pq
(
a
)
−
L
pq
(
a
)
≤
S
1
+
S
2
,
где
S
1
=
1
mn
W
pq
(
a
)
−
E
1
mn
W
pq
(
a
)
,
S
2
=
E
1
mn
W
pq
(
a
)
−
L
pq
(
a
) .
Из стационарности полей
X
ij
и
ε
ij
следует, что
E
[
S
kl
(
a
)
S
k
−
i
−
p
−
p
,
l
−
j
−
q
−
q
(
a
)]
=
E
[
S
i
+
p
+
1,
j
+
q
+
1
(
a
)
S
11
(
a
)].
Известно [1, 2], что при выполнении условий (8), (19) решение
X
ij
уравнения (1) можно представить в виде
X
ij
=
∞
k
,
l
=
0
δ
kl
(
a
)
ε
i
−
k
,
j
−
l
,
(20)
причем существуют постоянные
α
∈
(0, 1)
и
C
такие, что
|
δ
kl
(
a
)
|
≤
Cα
k
+
l
.
(21)
Поэтому
E
1
mn
W
pq
(
a
)
=
=
1
mn
m
−
1
−
p
i
=
0
j
−
1
−
q
j
=
0
δ
ij
(
a
)
m
k
=
i
+
p
+
1
n
l
=
j
+
q
+
1
E
[
S
kl
(
a
)
S
k
−
i
−
p
−
p
,
l
−
j
−
q
−
q
(
a
)]
=
=
m
−
1
−
p
i
=
0
j
−
1
−
q
j
=
0
δ
ij
(
a
)
1
−
i
m
1
−
j
n
E
i
+
p
+
1,
j
+
q
+
1
(
a
)]
→
L
pq
(
a
).
Следовательно,
S
2
→
0,
причем в силу условия (21) и ограниченности
S
ij
(
a
)
эта сходимость
будет равномерной в
B
.
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2012
169