в которых отличаются одной инверсией:
x
σ
(1)
⊗
x
σ
(2)
⊗ · · · ⊗
x
σ
(
n
)
−
x
σ
(2)
⊗
x
σ
(1)
⊗ · · · ⊗
x
σ
(
n
)
,
добавляя и вычитая
x
σ
(1)
x
σ
(2)
⊗
e
⊗· · ·⊗
x
σ
(
n
)
,
получаем элемент
M
Ker
d
A
.
Утверждение
2
.
Следующие условия эквивалентны:
1)
оператор
ˆ
α
не является вложением;
2)
в пространстве
Ker
d/M
Ker
d
есть нетривиальный элемент
вида
T
(
h
1
,
. . .
,
h
n
)
+
M
Ker
d
;
3)
в максимальном идеале
M
найдутся
n
элементов
h
1
,
. . .
,
h
n
,
об-
разы которых при факторизации составляют базис в
M/M
2
,
т. е.
dim
(
M/M
2
)
=
n
.
Доказательство.
Импликация
2)
⇒
1)
очевидна. Рассмотрим
3)
⇒
2)
.
Пусть элементы
h
1
,
. . .
,
h
n
из
M
—
прообраз базиса
ˆ
h
1
,
. . .
,
ˆ
h
n
в
M/M
2
.
Покажем, что
T
(
h
1
,
. . .
,
h
n
)
не принадлежит
M
Ker
d
.
Если предположить, что
T
(
h
1
,
. . .
,
h
n
)
является пределом линей-
ной комбинации элементов вида
m
(
w
−
e
⊗
d
(
w
))
,
где
m
∈
M
и
w
−
e
⊗
d
(
w
)
∈
Ker
d
(
n
−
1)
,
то рассмотренный в лемме 1 функ-
ционал
φ
1
⊗
φ
2
⊗ · · · ⊗
φ
n
,
такой, что
φ
i
(
a
j
)
=
δ
ij
и
φ
i
∈
(
M
2
)
⊥
,
будет
тривиален на
T
(
h
1
,
. . .
,
h
n
)
и одновременно нетривиален на нем, что
является противоречием.
Для доказательства
2)
⇒
3)
потребуется лемма.
Лемма
2
.
Верно равенство
T
(
a
1
a
2
,
b
,
. . .
,
c
)
=
d T
(
a
1
,
a
2
,
b
,
. . .
,
c
)
.
Доказательство.
При
n
=
2
,
по определению,
T
(
a
1
,
a
2
,
b
)
=
a
1
⊗
a
2
⊗
b
+
b
⊗
a
1
⊗
a
2
−
a
1
⊗
b
⊗
a
2
.
Вычислив оператор
d
от
T
,
после сокращения получим
d T
(
a
1
,
a
2
,
b
)
=
a
1
a
2
⊗
b
−
a
1
⊗
a
2
b
+
ba
1
⊗
a
2
−
b
⊗
a
1
a
2
−
−
a
1
b
⊗
a
2
+
a
1
⊗
ba
2
=
a
1
a
2
⊗
b
−
b
⊗
a
1
a
2
=
T
(
a
1
a
2
,
b
).
Поскольку
T
(
a
1
,
a
2
,
b
,
. . .
,
c
)
=
T
(
a
1
,
a
2
,
b
,
. . .
,
c
)
+
T
(
a
2
,
a
1
,
b
,
. . .
,
c
),
то при вычислении оператора
d
в обеих частях равенства сокращаются
все элементарные тензоры в обоих слагаемых:
0
=
d T
(
a
1
,
a
2
,
b
,
...
,
c
)
=
d T
(
a
1
,
a
2
,
b
,
...
,
c
)
+
d T
(
a
2
,
a
1
,
b
,
...
,
c
) ,
причем перекрестно сокращаются лишь те из них, в которых встре-
чается произведение
a
1
a
2
.
Следовательно,
d T
(
a
1
,
a
2
,
b
,
. . .
,
c
)
пред-
ставляет собой линейную комбинацию тензорных произведений эле-
ментов
a
1
a
2
,
b
,
. . .
,
c
,
взятых со всеми возможными перестановками
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2012
161