и знаками, соответствующими их четности, что и есть, по определе-
нию,
T
(
a
1
a
2
,
b
,
. . .
,
c
)
.
Лемма 2 доказана.
Следствие.
Если среди аргументов
T
(
a
1
,
a
2
,
. . .
,
a
n
)
хотя бы один
принадлежит
M
2
,
то тогда сам элемент
T
(
a
1
,
a
2
,
. . .
,
a
n
)
лежит
в
M
Ker
d
.
Задача доказательства следствия сводится к рассмотрению случая
a
i
=
a
i
1
a
i
2
,
где
a
i
1
,
a
i
2
∈
M
.
Далее циклической перестановкой, меня-
ющей только знак
T
,
поставим
a
i
на первое место и применим лем-
му 2. Следствие доказано.
Применим лемму 2 к доказательству
2)
⇒
3)
.
Возьмем нетри-
виальный не принадлежащий
M
Ker
d
элемент
T
(
a
1
,
. . .
,
a
n
)
,
тогда
система
a
1
,
. . .
,
a
n
линейно независима. Если при факторизации
M
по
M
2
образ этой системы
{
ˆ
a
1
,
. . .
,
ˆ
a
n
}
,
где
ˆ
a
=
a
+
M
2
,
окажется
системой линейно зависимой, то в
M
имеем представление одно-
го из элементов системы (без ограничения общности можно счи-
тать, что это
a
1
)
в виде
a
1
=
n
i
=
2
λ
i
a
i
+
m
,
где
m
∈
M
2
.
Тогда,
как следует из леммы,
T
(
a
1
,
. . .
,
a
n
)
=
T
n
i
=
2
λ
i
a
i
,
a
2
,
. . .
,
a
n
+
+
T
(
m
,
a
2
,
. . .
,
a
n
)
=
T
(
m
,
a
2
,
. . .
,
a
n
)
∈
M
Ker
d
.
Рассмотрим теперь утверждение
1)
⇒
2)
.
Пусть
ˆ
k
∈
Ker ˆ
α
.
Из-
вестно, что размерность фактор-пространства
M/M
2
≤
n
.
Следова-
тельно, можно считать, что
k
=
σ
λ
σ
h
σ
(1)
⊗ · · · ⊗
h
σ
(
n
)
и является
линейной комбинацией произведений элементов базиса из условия 3,
взятых по всем подстановкам. Поскольку
k
∈
Ker
d
,
то
d
(
k
)
=
h
1
h
2
· · ·
⊗
h
n
−
h
1
⊗
h
2
h
3
· · ·
⊗
h
n
+
· · ·
+
(
−
1)
σ
h
1
⊗· · ·⊗
h
n
−
1
h
n
=
0
и любые два слагаемых в сумме, определяющей
k
,
которые отли-
чаются лишь инверсией множителей, коллинеарны и имеют разные
по знаку коэффициенты
λ
.
Следовательно, с точностью до числово-
го множителя
k
совпадает с
T
(
h
1
,
. . .
,
h
n
)
.
Утверждение 2 и теорема
доказаны.
В работе [7] было дано утверждение о совпадении с алгеброй го-
ломорфных функций на одномерном многообразии той равномерной
алгебры Фреше, все замкнутые максимальные идеалы которой сво-
бодны. Доказанная выше теорема позволяет обобщить этот результат:
если слабая гомологическая размерность алгебры Фреше
A
конечна
и равна
n
,
а все проективные модули Фреше над ней свободны, то ее
спектр
Ω
является комплексным многообразием Штейна размерно-
сти
n
и алгебра
A
с точностью до топологического изоморфизма сов-
падает с алгеброй
O
(
Ω
)
голоморфных функций на многообразии
Ω
.
162
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2012