При
n
=
2
из коммутативной диаграммы
M
Ker
π
−−−→
M
ˆ
⊗
M
−−−→
M
2
⏐⏐
⏐⏐
⏐⏐
Ker
π
−−−→
A
ˆ
⊗
M
−−−→
M
⏐⏐
⏐⏐
⏐⏐
Ker
π
M
Ker
π
−−−→
A
M
⊗
M
−−−→
M
M
2
может быть получен явный вид базисных пространств:
Ker
π
M
Ker
π
M
2
,
а изоморфизм устанавливается отображением
Ker
π
M
Ker
π
−→
M
2
:
a
⊗
b
−
e
⊗
ab
+
M
Ker
π
→
ab
.
Аналогично получаем
Ker
π
A
M
Ker
π
A
M
.
Следовательно, для стабильного идеала
M
вопрос о тривиальности
ядра
ˆ
α
имеет положительный ответ, влекущий проективность
M
.
Определим элементы пространства
M
(
n
)
[6]:
T
(
x
1
,
. . .
,
x
n
)
=
σ
(
−
1)
σ
x
σ
(1)
⊗ · · · ⊗
x
σ
(
n
)
;
(1)
T
(
x
1
,
x
2
,
. . .
,
x
n
)
=
σ
(
−
1)
σ
x
σ
(1)
⊗ · · · ⊗
x
σ
(
n
)
,
(2)
где в первом случае суммирование ведется по всем перестановкам,
а во втором — по тем из них, для которых
x
1
расположено левее,
чем
x
2
.
Ясно, что
T
(
x
1
,
x
2
,
. . .
,
x
n
)
=
T
(
x
1
,
x
2
,
. . .
,
x
n
)
+
T
(
x
2
,
x
1
,
. . .
,
x
n
)
и
T
(
x
1
,
. . .
,
x
n
)
принадлежит
Ker
d
n
−
3
.
Известно также [6], что
T
(
x
1
,
. . .
,
x
n
)
тривиален тогда и только тогда, когда семейство
x
1
,
. . .
. . .
,
x
n
линейно зависимо. Например, для
n
=
2
T
(
a
,
b
)
=
a
⊗
b
−
b
⊗
a
и
T
(
a
,
b
)
=
a
⊗
b
.
Заметим, что
T
(
a
,
b
)
всегда лежит в
M
Ker
π
A
:
T
(
a
,
b
)
=
a
(
e
⊗
b
−
b
⊗
e
)
−
b
(
e
⊗
a
−
a
⊗
e
).
В общем случае, разбивая сумму в
T
(
x
1
,
. . .
,
x
n
)
на пары, слагаемые
160
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2012