Таким образом,
T
A
(
E
A
)
⊃
ˆ
α
(
T
(
E
)).
Модуль
A
ˆ
⊗
M
(
n
−
2)
ˆ
⊗
M
выделяется в
A
ˆ
⊗
M
(
n
−
2)
ˆ
⊗
A
прямым
слагаемым, так как естественное вложение расщепляется левым об-
ратным морфизмом
Ξ
,
определяемым как
1
A
ˆ
⊗
M
(
n
−
2)
ˆ
⊗
ξ
,
где
ξ
:
e
→
0
.
Оператор
Ξ
переводит дополнительное до
Ker
d
A
подпространство
C
ˆ
⊗
M
(
n
−
2)
ˆ
⊗
A
на подпространство
C
ˆ
⊗
M
(
n
−
2)
ˆ
⊗
M
,
дополнитель-
ное до
Ker
d
.
Композиция морфизмов
Ξ
◦
α
тождественна на
Ker
d
.
Из конечномерности
M/M
2
и рассмотрения явного вида элементов
в
Ker
d
A
/
(
M
Ker
d
A
)
следует, что существует отображение фактор-
пространств:
ˆΞ
:
Ker
d
A
M
Ker
d
A
−→
Ker
d
M
Ker
d
,
при этом на образе
α
имеем
T
◦
Ξ = ˆΞ
◦
T
A
.
Тогда
ˆΞ
будет левым
обратным к вложению
ˆ
α
.
Как следует из равенств
ˆΞ
◦
(
ˆ
α
◦
T
)
=
(
ˆΞ
◦
T
A
)
◦
α
=
T
◦
(
Ξ
◦
α
)
=
T
.
Это означает, что базисное подпространство
E
вкладывается в
E
A
и выделяется в нем прямым слагаемым. Следовательно, существует
морфизм модулей
β
:
Ker
d
A
−→
Ker
d
,
для которого
β
◦
α
=
1
.
Но тогда мы получаем расщепимость верхней тройки в диаграмме,
нижняя тройка которой расщепляется морфизмом:
κ
:
A
ˆ
⊗
M
(
n
−
2)
ˆ
⊗
A
−→
Ker
d
A
:
0
←−−−
Im
d
n
−
3
←−−−
A
ˆ
⊗
M
(
n
−
2)
ˆ
⊗
M
←−−−
i
Ker
d
n
−
3
←−−−
0.
⏐⏐
1
⊗
i
⏐⏐
β
0
←−−−
Im
d
A
n
−
3
←−−−
A
ˆ
⊗
M
(
n
−
2)
ˆ
⊗
A
−−−→
κ
Ker
d
A
n
−
3
Действительно, морфизм
δ
=
β
◦
κ
◦
(1
⊗
i
)
является левым обрат-
ным для
i
:
δ
◦
α
=
β
◦
κ
◦
(1
⊗
i
)
◦
i
=
β
◦
(
κ
◦
α
A
)
◦
α
=
β
◦
α
=
1.
Следовательно, модуль
Im
d
n
−
3
,
совпадающий с
Ker
d
n
−
2
,
проективен,
что противоречит условию
dh
M
=
n
−
1
.
Утверждение 1 доказано.
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2012
159