Обозначая через
T
и
T
A
факторизации, получаем
T
A
◦
α
= ˆ
α
◦
T
.
При этом
ˆ
α
не всегда имеет тривиальное ядро. При
n
=
2
ядра опера-
торов
α
и
ˆ
α
имеют простой вид:
α
:
Ker
π
−→
Ker
π
A
и
ˆ
α
:
Ker
π
M
Ker
π
−→
Ker
π
A
M
Ker
π
A
.
Модуль
Ker
π
порождается элементами вида
a
⊗
b
−
e
⊗
ab
,
где
a
,
b
∈
M
,
тогда как в
Ker
π
A
⊂
A
ˆ
⊗
A
добавляется возможность пред-
ставления в виде
b
⊗
e
−
e
⊗
b
.
Если
dim
(
M/M
2
)
=
2
,
то
Ker ˆ
α
=
0
.
Препятствием для тривиальности ядра
ˆ
α
в этом случае является на-
личие двух элементов в базисе
M/M
2
.
Обозначим их прообразы в
M
через
z
1
и
z
2
.
Получаем элемент
z
1
⊗
z
2
−
z
2
⊗
z
1
в
Ker
π
,
не лежащий
в
M
Ker
π
,
т. е. дающий в фактор-пространстве нетривиальный образ.
Однако элемент
z
1
⊗
z
2
−
z
2
⊗
z
1
,
записываемый в
Ker
π
A
⊂
A
ˆ
⊗
A
как
z
1
⊗
z
2
−
z
1
z
2
⊗
e
−
(
z
2
⊗
z
1
−
z
1
z
2
⊗
e
)
=
=
z
1
(
e
⊗
z
2
−
z
2
⊗
e
)
−
(
z
2
⊗
z
1
−
z
1
z
2
⊗
e
)
∈
M
Ker
π
A
,
имеет тривиальный образ в
Ker
π
A
/
(
M
Ker
π
A
)
.
Ядро
ˆ
α
не триви-
ально.
Далее схема доказательства теоремы следующая. Если
dh
M
=
=
n
−
1
,
то определенный выше морфизм
ˆ
α
не является вложением.
Отсюда выводится эквивалентность утверждению
dim
(
M/M
2
)
=
n
.
Утверждение
1
.
Если при выполнении условий теоремы
ˆ
α
—
вло-
жение, то
dh
M < n
−
1
.
Доказательство.
Покажем, что если
Ker ˆ
α
=
0
,
то гомологическая
размерность
M
строго меньше
n
−
1
.
Для этого выясним, что базисные
пространства свободных модулей
Ker
d
A
и
Ker
d
(
будем обозначать
их
E
A
⊂
Ker
π
A
,
E
⊂
Ker
π
и они изоморфны
Ker
d
A
/
(
M
Ker
d
A
)
и
Ker
d/
(
M
Ker
d
)
соответственно) могут быть выбраны так, чтобы
при морфизме
α
базисное пространство
E
вкладывалось бы в
E
A
.
Заметим, что при условии тривиальности ядра
ˆ
α
пространство
E
не пересекается с
M
Ker
d
A
,
иначе следующая диаграмма не была бы
коммутативна:
A
ˆ
⊗
M
(
n
−
2)
ˆ
⊗
A
←−−−
Ker
d
A α
←−−−
Ker
d
T
A
⏐⏐
⏐⏐
T
Ker
d
A
M
Ker
d
A
←−−−
ˆ
α
Ker
d
M
Ker
d
.
158
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2012